gdz.top
Номер 40.26, страница 308 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 40. Уравнение касательной - номер 40.26, страница 308.
№40.25
№40.26 (с. 308)
Условие. №40.26 (с. 308)
40.26. В какой точке графика функции $f(x) = \frac{4x - 1}{x}$ надо провести касательную, чтобы эта касательная проходила через начало координат?
Решение. №40.26 (с. 308)
Пусть $M(x_0, y_0)$ — искомая точка касания на графике функции $f(x) = \frac{4x - 1}{x}$. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Найдем значение функции в точке $x_0$:$f(x_0) = \frac{4x_0 - 1}{x_0}$.
Теперь найдем производную функции $f(x)$. Для удобства представим функцию в виде $f(x) = 4 - \frac{1}{x} = 4 - x^{-1}$.$f'(x) = (4 - x^{-1})' = 0 - (-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
Значение производной в точке $x_0$ равно:$f'(x_0) = \frac{1}{x_0^2}$.
Подставим найденные значения в уравнение касательной:$y = \frac{4x_0 - 1}{x_0} + \frac{1}{x_0^2}(x - x_0)$.
По условию, эта касательная проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Подставим координаты этой точки ($x=0, y=0$) в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:$0 = \frac{4x_0 - 1}{x_0} + \frac{1}{x_0^2}(0 - x_0)$.
Упростим полученное уравнение:$0 = \frac{4x_0 - 1}{x_0} - \frac{x_0}{x_0^2}$$0 = \frac{4x_0 - 1}{x_0} - \frac{1}{x_0}$$0 = \frac{4x_0 - 1 - 1}{x_0}$$0 = \frac{4x_0 - 2}{x_0}$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.$4x_0 - 2 = 0$ и $x_0 \neq 0$.$4x_0 = 2$$x_0 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Мы нашли абсциссу точки касания. Теперь найдем ординату, подставив $x_0 = \frac{1}{2}$ в исходную функцию:$y_0 = f(\frac{1}{2}) = \frac{4 \cdot \frac{1}{2} - 1}{\frac{1}{2}} = \frac{2 - 1}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
Таким образом, искомая точка на графике функции, в которой нужно провести касательную, имеет координаты $(\frac{1}{2}, 2)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}; 2)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 40.26 расположенного на странице 308 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №40.26 (с. 308), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.