Номер 40.19, страница 308 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.19. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x)=x^2-4$ в точке с абсциссой $x_0=-2$.

Для вычисления площади треугольника, образованного осями координат и касательной, необходимо сначала найти уравнение этой касательной. Треугольник, образованный прямой и осями координат, является прямоугольным, и его площадь можно найти как половину произведения длин катетов. Длины катетов равны модулям отрезков, отсекаемых касательной на осях координат (то есть, модулям ее x- и y-пересечений).

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0 = -2$

Дана функция $f(x) = x^2 - 4$.
$f(x_0) = f(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(-2, 0)$.

2. Найдем производную функции и ее значение в точке касания

Производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$.
Значение производной в точке $x_0 = -2$ (которое равно угловому коэффициенту касательной) составляет:
$f'(x_0) = f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.

3. Составим уравнение касательной

Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = -4$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = 0 + (-4)(x - (-2))$
$y = -4(x + 2)$
$y = -4x - 8$.

4. Найдем точки пересечения касательной с осями координат

Чтобы найти точку пересечения с осью ординат (Oy), подставим $x = 0$ в уравнение касательной:
$y = -4 \cdot 0 - 8 = -8$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -8)$. Длина отрезка, отсекаемого на оси Oy, равна $|-8| = 8$.

Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс (Ox), подставим $y = 0$ в уравнение касательной:
$0 = -4x - 8$
$4x = -8$
$x = -2$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-2, 0)$. Длина отрезка, отсекаемого на оси Ox, равна $|-2| = 2$.

5. Вычислим площадь треугольника

Треугольник является прямоугольным, его катеты равны 2 и 8. Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ - длины катетов.
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 8 = 8$.

Ответ: 8