Номер 40.16, страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.16. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = 3x^2 + 5x + 3$, если эта касательная параллельна прямой $y = -7x + 3$;

2) $f(x) = \sqrt{x}$, если эта касательная параллельна прямой $y = x$.

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f'(x_0)$ — это угловой коэффициент касательной. По условию, касательная параллельна прямой $y = -7x + 3$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент (наклон) прямой $y = -7x + 3$ равен $-7$. Следовательно, угловой коэффициент касательной также должен быть равен $-7$, то есть $f'(x_0) = -7$.

Найдем производную функции $f(x) = 3x^2 + 5x + 3$:

$f'(x) = (3x^2 + 5x + 3)' = 6x + 5$

Теперь найдем $x_0$, приравняв производную к $-7$:

$6x_0 + 5 = -7$

$6x_0 = -12$

$x_0 = -2$

Это абсцисса точки касания. Найдем ординату этой точки, подставив $x_0 = -2$ в исходную функцию:

$y_0 = f(-2) = 3(-2)^2 + 5(-2) + 3 = 3 \cdot 4 - 10 + 3 = 12 - 10 + 3 = 5$

Таким образом, точка касания — $(-2, 5)$.

Теперь составим уравнение касательной, используя точку касания $(-2, 5)$ и угловой коэффициент $k = -7$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - 5 = -7(x - (-2))$

$y - 5 = -7(x + 2)$

$y - 5 = -7x - 14$

$y = -7x - 9$

Ответ: $y = -7x - 9$

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$. Касательная к ее графику параллельна прямой $y = x$.

Угловой коэффициент прямой $y = x$ равен $1$. Поскольку касательная параллельна этой прямой, ее угловой коэффициент также равен $1$. Таким образом, $f'(x_0) = 1$.

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{x}$:

$f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Приравняем производную к $1$, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 1$

$2\sqrt{x_0} = 1$

$\sqrt{x_0} = \frac{1}{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$x_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Теперь найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = \frac{1}{4}$ в исходную функцию:

$y_0 = f\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Точка касания имеет координаты $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ и угловой коэффициент $k = 1$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - \frac{1}{2} = 1 \cdot \left(x - \frac{1}{4}\right)$

$y - \frac{1}{2} = x - \frac{1}{4}$

$y = x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

$y = x + \frac{1}{4}$

Ответ: $y = x + \frac{1}{4}$