Страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.7. Найдите координаты точки параболы $y = 2x^2 - x + 1$, в которой касательная к ней параллельна прямой $y = 7x - 8$.

Чтобы найти координаты точки параболы, в которой касательная параллельна данной прямой, необходимо найти точку, в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой.

1. Угловой коэффициент прямой $y = 7x - 8$ равен коэффициенту при $x$, то есть $k = 7$.

2. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $y'(x_0)$ в этой точке.

Найдем производную функции параболы $y = 2x^2 - x + 1$:
$y' = (2x^2 - x + 1)' = 2 \cdot (x^2)' - (x)' + (1)' = 2 \cdot 2x - 1 + 0 = 4x - 1$.

3. Так как касательная параллельна прямой, их угловые коэффициенты равны. Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой и найдем абсциссу $x_0$ точки касания:
$y'(x_0) = 7$
$4x_0 - 1 = 7$
$4x_0 = 8$
$x_0 = \frac{8}{4} = 2$.

4. Теперь найдем ординату $y_0$ этой точки, подставив найденное значение $x_0 = 2$ в исходное уравнение параболы:
$y_0 = 2(2)^2 - 2 + 1$
$y_0 = 2 \cdot 4 - 2 + 1$
$y_0 = 8 - 1 = 7$.

Координаты искомой точки $(2; 7)$.

Ответ: $(2; 7)$.

40.8. В каких точках касательные к графику функции $y = \frac{1}{x}$ параллельны прямой $y = -x$?

Условие параллельности касательной к графику функции и прямой заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k_{кас} = f'(x_0)$.

1. Найдем угловой коэффициент данной прямой $y = -x$. Уравнение прямой в общем виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Для прямой $y = -x$ угловой коэффициент $k = -1$.

2. Найдем производную функции $y = f(x) = \frac{1}{x}$. Запишем функцию в виде степенной: $f(x) = x^{-1}$. Тогда ее производная: $f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

3. Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссы точек касания ($x_0$): $f'(x_0) = k$ $-\frac{1}{x_0^2} = -1$

Умножим обе части уравнения на $-1$: $\frac{1}{x_0^2} = 1$

Отсюда следует, что $x_0^2 = 1$. Решениями этого уравнения являются $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

4. Найдем ординаты ($y_0$) этих точек, подставив найденные абсциссы в исходную функцию $y = \frac{1}{x}$:

• Если $x_0 = 1$, то $y_0 = \frac{1}{1} = 1$. Первая точка — $(1; 1)$.
• Если $x_0 = -1$, то $y_0 = \frac{1}{-1} = -1$. Вторая точка — $(-1; -1)$.

Следовательно, касательные к графику функции $y = \frac{1}{x}$ параллельны прямой $y = -x$ в двух точках.

Ответ: $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

40.9. Найдите такую точку графика функции $f$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha$, если:

1) $f(x) = x^2 - 7x + 3$, $\alpha = 45^\circ$;

2) $f(x) = -3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2$, $\alpha = 60^\circ$;

3) $f(x) = \sqrt{3x + 2}$, $\alpha = 45^\circ$;

4) $f(x) = \frac{x+7}{x-2}$, $\alpha = 135^\circ$.

Основная идея решения заключается в использовании геометрического смысла производной: значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс. Таким образом, для нахождения абсциссы искомой точки $x_0$ нужно решить уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

1) $f(x) = x^2 - 7x + 3$, $\alpha = 45^\circ$

Сначала найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 7x + 3)' = 2x - 7$.

Теперь найдем тангенс заданного угла:
$\tan(45^\circ) = 1$.

Приравняем производную к тангенсу, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:
$2x_0 - 7 = 1$
$2x_0 = 8$
$x_0 = 4$.

Теперь найдем ординату точки, подставив $x_0 = 4$ в исходную функцию $f(x)$:
$y_0 = f(4) = 4^2 - 7 \cdot 4 + 3 = 16 - 28 + 3 = -9$.

Искомая точка имеет координаты $(4, -9)$.

Ответ: $(4, -9)$.

2) $f(x) = -3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2$, $\alpha = 60^\circ$

Найдем производную функции:
$f'(x) = (-3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2)' = -6x + 2\sqrt{3}$.

Найдем тангенс заданного угла:
$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Решим уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$:
$-6x_0 + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$
$-6x_0 = \sqrt{3} - 2\sqrt{3}$
$-6x_0 = -\sqrt{3}$
$x_0 = \frac{-\sqrt{3}}{-6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Найдем ординату точки $y_0 = f(x_0)$:
$y_0 = f(\frac{\sqrt{3}}{6}) = -3(\frac{\sqrt{3}}{6})^2 + 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{6}) - 2$
$y_0 = -3(\frac{3}{36}) + \frac{2 \cdot 3}{6} - 2 = -3 \cdot \frac{1}{12} + 1 - 2 = -\frac{1}{4} - 1 = -\frac{5}{4}$.

Искомая точка имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{6}, -\frac{5}{4})$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{6}, -\frac{5}{4})$.

3) $f(x) = \sqrt{3x + 2}$, $\alpha = 45^\circ$

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sqrt{3x + 2})' = \frac{1}{2\sqrt{3x + 2}} \cdot (3x + 2)' = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}}$.

Найдем тангенс заданного угла:
$\tan(45^\circ) = 1$.

Решим уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$:
$\frac{3}{2\sqrt{3x_0 + 2}} = 1$
$3 = 2\sqrt{3x_0 + 2}$
$\sqrt{3x_0 + 2} = \frac{3}{2}$.

Возведем обе части в квадрат:
$3x_0 + 2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$
$3x_0 = \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}$
$x_0 = \frac{1}{12}$.

Найдем ординату точки $y_0 = f(x_0)$:
$y_0 = f(\frac{1}{12}) = \sqrt{3 \cdot \frac{1}{12} + 2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Искомая точка имеет координаты $(\frac{1}{12}, \frac{3}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{12}, \frac{3}{2})$.

4) $f(x) = \frac{x + 7}{x - 2}$, $\alpha = 135^\circ$

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного:
$f'(x) = \left(\frac{x + 7}{x - 2}\right)' = \frac{(x + 7)'(x - 2) - (x + 7)(x - 2)'}{(x - 2)^2}$
$f'(x) = \frac{1 \cdot (x - 2) - (x + 7) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{x - 2 - x - 7}{(x - 2)^2} = \frac{-9}{(x - 2)^2}$.

Найдем тангенс заданного угла:
$\tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

Решим уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$:
$\frac{-9}{(x_0 - 2)^2} = -1$
$(x_0 - 2)^2 = 9$.

Это уравнение имеет два решения:
1) $x_0 - 2 = 3 \implies x_1 = 5$
2) $x_0 - 2 = -3 \implies x_2 = -1$.

Найдем ординаты для каждой из найденных абсцисс:
Для $x_1 = 5$:
$y_1 = f(5) = \frac{5 + 7}{5 - 2} = \frac{12}{3} = 4$.
Получаем точку $(5, 4)$.

Для $x_2 = -1$:
$y_2 = f(-1) = \frac{-1 + 7}{-1 - 2} = \frac{6}{-3} = -2$.
Получаем точку $(-1, -2)$.

Существуют две такие точки.

Ответ: $(5, 4)$ и $(-1, -2)$.

40.10. Найдите такую точку графика функции $f$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha$, если:

1) $f(x) = \sqrt{3x} - \frac{x^3}{3}$, $\alpha = 60^\circ$;

2) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1$, $\alpha = 45^\circ$.

1)

Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ заключается в том, что её значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$.

Следовательно, для нахождения абсциссы искомой точки $x_0$ необходимо решить уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

Дана функция $f(x) = \sqrt{3}x - \frac{x^3}{3}$ и угол $\alpha = 60^\circ$.

1. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{3}x - \frac{x^3}{3})' = \sqrt{3} - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = \sqrt{3} - x^2$.

2. Вычислим тангенс заданного угла:
$k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

3. Приравняем производную к тангенсу угла и решим уравнение:
$f'(x) = k$
$\sqrt{3} - x^2 = \sqrt{3}$
$-x^2 = 0$
$x = 0$.

4. Найдём ординату точки, подставив найденное значение $x = 0$ в исходную функцию:
$y = f(0) = \sqrt{3} \cdot 0 - \frac{0^3}{3} = 0$.

Таким образом, искомая точка графика функции — это $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

2)

Дана функция $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1$ и угол $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + x - 1)' = 3x^2 - 4x + 1$.

2. Вычислим тангенс заданного угла:
$k = \tan(45^\circ) = 1$.

3. Приравняем производную к тангенсу угла и решим уравнение:
$f'(x) = k$
$3x^2 - 4x + 1 = 1$
$3x^2 - 4x = 0$
$x(3x - 4) = 0$.

Уравнение имеет два корня:
$x_1 = 0$
$3x_2 - 4 = 0 \implies 3x_2 = 4 \implies x_2 = \frac{4}{3}$.

4. Найдём ординаты для каждого значения $x$:
При $x_1 = 0$:
$y_1 = f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 - 1 = -1$.
Первая точка: $(0, -1)$.

При $x_2 = \frac{4}{3}$:
$y_2 = f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + \frac{4}{3} - 1 = \frac{64}{27} - 2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{4}{3} - 1$.
Приведём дроби к общему знаменателю 27:
$y_2 = \frac{64}{27} - \frac{32 \cdot 3}{27} + \frac{4 \cdot 9}{27} - \frac{27}{27} = \frac{64 - 96 + 36 - 27}{27} = \frac{100 - 123}{27} = -\frac{23}{27}$.
Вторая точка: $(\frac{4}{3}, -\frac{23}{27})$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки.

Ответ: $(0, -1)$ и $(\frac{4}{3}, -\frac{23}{27})$.

40.11. Докажите, что любая касательная к графику функции $f$ образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс:

1) $f(x) = 6 - x - x^3$;

2) $f(x) = \frac{5 - x}{x - 3}$.

Угол, который образует касательная к графику функции с положительным направлением оси абсцисс, определяется значением производной в точке касания. Тангенс угла наклона касательной $ \alpha $ равен значению производной в точке касания $ x_0 $: $ k = \tan(\alpha) = f'(x_0) $.

Тупой угол — это угол $ \alpha $, для которого выполняется условие $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $. Тангенс тупого угла является отрицательным числом, то есть $ \tan(\alpha) < 0 $.

Таким образом, чтобы доказать, что любая касательная к графику функции образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс, необходимо доказать, что производная этой функции $ f'(x) $ отрицательна для любого $ x $ из ее области определения.

1) $ f(x) = 6 - x - x^3 $

Найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $ D(f) = R $.
$ f'(x) = (6 - x - x^3)' = (6)' - (x)' - (x^3)' = 0 - 1 - 3x^2 = -1 - 3x^2 $.

Определим знак производной. Выражение $ x^2 $ всегда неотрицательно для любого действительного $ x $, то есть $ x^2 \ge 0 $. Следовательно, $ 3x^2 \ge 0 $, и $ 1 + 3x^2 \ge 1 $. Так как выражение $ (1 + 3x^2) $ всегда положительно, то $ f'(x) = -(1 + 3x^2) $ всегда будет отрицательным числом.

Поскольку $ f'(x) < 0 $ для всех $ x \in R $, тангенс угла наклона любой касательной к графику этой функции отрицателен. Это означает, что угол наклона является тупым, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) $ f(x) = \frac{5 - x}{x - 3} $

Найдем производную функции. Область определения функции: $ x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3 $, то есть $ D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.
Используя правило дифференцирования частного $ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $, получаем:
$ f'(x) = \left(\frac{5 - x}{x - 3}\right)' = \frac{(5 - x)'(x - 3) - (5 - x)(x - 3)'}{(x - 3)^2} = \frac{-1 \cdot (x - 3) - (5 - x) \cdot 1}{(x - 3)^2} = \frac{-x + 3 - 5 + x}{(x - 3)^2} = \frac{-2}{(x - 3)^2} $.

Определим знак производной. Числитель дроби равен $ -2 $ (отрицательное число). Знаменатель $ (x - 3)^2 $ является квадратом ненулевого выражения для любого $ x $ из области определения, следовательно, он всегда положителен.

Частное отрицательного числа и положительного числа всегда отрицательно, поэтому $ f'(x) < 0 $ для всех $ x \ne 3 $. Так как производная функции отрицательна на всей области определения, тангенс угла наклона любой касательной к графику этой функции отрицателен. Это означает, что угол наклона является тупым, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

40.12. Докажите, что любая касательная к графику функции $f$ образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс:

1) $f(x) = x^5 + 2x - 8$;

2) $f(x)=\frac{4}{1-x}$.

Угол $\alpha$, который образует касательная к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ с положительным направлением оси абсцисс, связан со значением производной в этой точке соотношением $\tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Касательная образует острый угол, если $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. В этом интервале тангенс угла положителен, то есть $\tan(\alpha) > 0$.

Таким образом, для доказательства утверждения задачи необходимо показать, что производная $f'(x)$ положительна для любого $x$ из области определения функции.

1) $f(x) = x^5 + 2x - 8$

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции:
$f'(x) = (x^5 + 2x - 8)' = (x^5)' + (2x)' - (8)' = 5x^4 + 2$.

Исследуем знак производной. Выражение $x^4$ является четной степенью, поэтому $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, $5x^4 \ge 0$. Тогда $f'(x) = 5x^4 + 2 \ge 0 + 2 = 2$.

Поскольку $f'(x) \ge 2$, производная всегда положительна. Это означает, что тангенс угла наклона любой касательной к графику функции положителен, и, следовательно, угол наклона всегда острый.

Ответ: производная $f'(x) = 5x^4 + 2$ положительна при всех значениях $x$, поэтому любая касательная к графику функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

2) $f(x) = \frac{4}{1-x}$

Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $1 - x \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
$D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Находим производную функции по правилу дифференцирования частного:
$f'(x) = \left(\frac{4}{1-x}\right)' = \frac{(4)' \cdot (1-x) - 4 \cdot (1-x)'}{(1-x)^2} = \frac{0 \cdot (1-x) - 4 \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{4}{(1-x)^2}$.

Исследуем знак производной. Числитель дроби $4 > 0$. Знаменатель $(1-x)^2$ является квадратом ненулевого выражения (так как $x \neq 1$), поэтому он всегда строго положителен: $(1-x)^2 > 0$.

Отношение двух положительных чисел всегда положительно, следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что тангенс угла наклона любой касательной к графику функции положителен, и, следовательно, угол наклона всегда острый.

Ответ: производная $f'(x) = \frac{4}{(1-x)^2}$ положительна на всей области определения функции, поэтому любая касательная к графику функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.

40.13. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции:

1) $f(x) = x^3 - 3x + 1$;

2) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 1$.

1) Для функции $f(x) = x^3 - 3x + 1$.
Горизонтальная касательная — это прямая, параллельная оси абсцисс, ее уравнение имеет вид $y = c$, где $c$ — константа. Угловой коэффициент такой прямой равен нулю.
Геометрический смысл производной заключается в том, что ее значение в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Таким образом, чтобы найти точки, в которых касательная горизонтальна, необходимо найти значения $x$, для которых производная функции $f'(x)$ равна нулю.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x + 1)' = 3x^2 - 3$.
2. Приравняем производную к нулю и найдем точки $x_0$:
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем две точки: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
3. Теперь найдем ординаты (значения $y$) этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходную функцию. Эти ординаты и будут определять уравнения горизонтальных касательных.
Для $x_1 = 1$:
$y_1 = f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$.
Следовательно, уравнение первой горизонтальной касательной: $y = -1$.
Для $x_2 = -1$:
$y_2 = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$.
Следовательно, уравнение второй горизонтальной касательной: $y = 3$.
Ответ: $y = -1, y = 3$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 1$.
Действуем по тому же алгоритму.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 1)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 4 \cdot 2x = 2x^3 - 8x$.
2. Приравняем производную к нулю:
$2x^3 - 8x = 0$
$2x(x^2 - 4) = 0$
$2x(x-2)(x+2) = 0$
Отсюда получаем три точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$ и $x_3 = -2$.
3. Найдем соответствующие ординаты точек касания.
Для $x_1 = 0$:
$y_1 = f(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - 4(0)^2 + 1 = 1$.
Уравнение первой горизонтальной касательной: $y = 1$.
Для $x_2 = 2$:
$y_2 = f(2) = \frac{1}{2}(2)^4 - 4(2)^2 + 1 = \frac{1}{2}(16) - 4(4) + 1 = 8 - 16 + 1 = -7$.
Для $x_3 = -2$:
$y_3 = f(-2) = \frac{1}{2}(-2)^4 - 4(-2)^2 + 1 = \frac{1}{2}(16) - 4(4) + 1 = 8 - 16 + 1 = -7$.
Поскольку в точках $x=2$ и $x=-2$ ординаты одинаковы, они лежат на одной и той же горизонтальной прямой. Таким образом, у графика есть две различные горизонтальные касательные.
Уравнение второй горизонтальной касательной: $y = -7$.
Ответ: $y = 1, y = -7$.

40.14. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+4.$

Горизонтальная касательная — это прямая, параллельная оси абсцисс, её угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Таким образом, для нахождения точек, в которых касательная горизонтальна, необходимо найти значения $x$, для которых производная $f'(x)$ обращается в ноль.

Дана функция: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4$.

1. Найдём производную функции $f(x)$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' - (x^2)' - (3x)' + (4)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 3 + 0 = x^2 - 2x - 3$.

2. Найдём абсциссы точек касания.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых угловой коэффициент касательной равен нулю:

$f'(x) = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

Мы нашли абсциссы точек, в которых касательные к графику функции горизонтальны: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

3. Найдём уравнения горизонтальных касательных.

Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это ордината точки касания. Найдём значения функции $f(x)$ в найденных точках $x_1$ и $x_2$.

При $x_1 = 3$:

$y_1 = f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 4 = \frac{1}{3} \cdot 27 - 9 - 9 + 4 = 9 - 9 - 9 + 4 = -5$.

Следовательно, уравнение первой горизонтальной касательной: $y = -5$.

При $x_2 = -1$:

$y_2 = f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 4 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 4 = -\frac{1}{3} + 6 = \frac{-1+18}{3} = \frac{17}{3}$.

Следовательно, уравнение второй горизонтальной касательной: $y = \frac{17}{3}$.

Ответ: $y = -5$ и $y = \frac{17}{3}$.

40.15. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x)=x-\frac{1}{x^2}$, если эта касательная параллельна прямой $y=3x$;

2) $f(x)=2x^3+3x^2-10x-1$, если эта касательная параллельна прямой $y=2x+1$.

1) f(x) = x - 1/x², если эта касательная параллельна прямой y = 3x;

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной функции в точке касания $x_0$, то есть $k = f'(x_0)$.

По условию, касательная параллельна прямой $y = 3x$. Так как параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, угловой коэффициент касательной должен быть равен 3. Следовательно, $f'(x_0) = 3$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = x - \frac{1}{x^2}$. Для удобства запишем функцию в виде $f(x) = x - x^{-2}$.

$f'(x) = (x - x^{-2})' = 1 - (-2)x^{-3} = 1 + \frac{2}{x^3}$.

Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = 3$:

$1 + \frac{2}{x_0^3} = 3$

$\frac{2}{x_0^3} = 2$

$x_0^3 = 1$

$x_0 = 1$.

Теперь найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(1) = 1 - \frac{1}{1^2} = 1 - 1 = 0$.

Точка касания имеет координаты $(1, 0)$. Угловой коэффициент касательной $k=3$.

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = 0 + 3(x - 1)$

$y = 3x - 3$.

Ответ: $y = 3x - 3$.

2) f(x) = 2x³ + 3x² - 10x - 1, если эта касательная параллельна прямой y = 2x + 1.

Касательная параллельна прямой $y = 2x + 1$, следовательно, ее угловой коэффициент $k$ равен угловому коэффициенту этой прямой, то есть $k=2$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $f'(x_0)$, поэтому $f'(x_0) = 2$.

Найдем производную функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 10x - 1$:

$f'(x) = (2x^3)' + (3x^2)' - (10x)' - (1)' = 6x^2 + 6x - 10$.

Теперь найдем абсциссы точек касания, решив уравнение $f'(x_0) = 2$:

$6x_0^2 + 6x_0 - 10 = 2$

$6x_0^2 + 6x_0 - 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 6:

$x_0^2 + x_0 - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:

$x_{0,1} = 1$ и $x_{0,2} = -2$.

Так как мы получили два значения для $x_0$, то существуют две касательные, удовлетворяющие условию. Найдем уравнение для каждой из них.

Случай 1: $x_0 = 1$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(1)$:

$y_0 = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 10(1) - 1 = 2 + 3 - 10 - 1 = -6$.

Точка касания $(1, -6)$, угловой коэффициент $k=2$.

Составим уравнение касательной:

$y - (-6) = 2(x - 1)$

$y + 6 = 2x - 2$

$y = 2x - 8$.

Случай 2: $x_0 = -2$.

Найдем ординату точки касания $y_0 = f(-2)$:

$y_0 = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 10(-2) - 1 = 2(-8) + 3(4) + 20 - 1 = -16 + 12 + 20 - 1 = 15$.

Точка касания $(-2, 15)$, угловой коэффициент $k=2$.

Составим уравнение касательной:

$y - 15 = 2(x - (-2))$

$y - 15 = 2(x + 2)$

$y - 15 = 2x + 4$

$y = 2x + 19$.

Ответ: $y = 2x - 8$ и $y = 2x + 19$.

40.16. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = 3x^2 + 5x + 3$, если эта касательная параллельна прямой $y = -7x + 3$;

2) $f(x) = \sqrt{x}$, если эта касательная параллельна прямой $y = x$.

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f'(x_0)$ — это угловой коэффициент касательной. По условию, касательная параллельна прямой $y = -7x + 3$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент (наклон) прямой $y = -7x + 3$ равен $-7$. Следовательно, угловой коэффициент касательной также должен быть равен $-7$, то есть $f'(x_0) = -7$.

Найдем производную функции $f(x) = 3x^2 + 5x + 3$:

$f'(x) = (3x^2 + 5x + 3)' = 6x + 5$

Теперь найдем $x_0$, приравняв производную к $-7$:

$6x_0 + 5 = -7$

$6x_0 = -12$

$x_0 = -2$

Это абсцисса точки касания. Найдем ординату этой точки, подставив $x_0 = -2$ в исходную функцию:

$y_0 = f(-2) = 3(-2)^2 + 5(-2) + 3 = 3 \cdot 4 - 10 + 3 = 12 - 10 + 3 = 5$

Таким образом, точка касания — $(-2, 5)$.

Теперь составим уравнение касательной, используя точку касания $(-2, 5)$ и угловой коэффициент $k = -7$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - 5 = -7(x - (-2))$

$y - 5 = -7(x + 2)$

$y - 5 = -7x - 14$

$y = -7x - 9$

Ответ: $y = -7x - 9$

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$. Касательная к ее графику параллельна прямой $y = x$.

Угловой коэффициент прямой $y = x$ равен $1$. Поскольку касательная параллельна этой прямой, ее угловой коэффициент также равен $1$. Таким образом, $f'(x_0) = 1$.

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{x}$:

$f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Приравняем производную к $1$, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 1$

$2\sqrt{x_0} = 1$

$\sqrt{x_0} = \frac{1}{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$x_0 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Теперь найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = \frac{1}{4}$ в исходную функцию:

$y_0 = f\left(\frac{1}{4}\right) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Точка касания имеет координаты $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ и угловой коэффициент $k = 1$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - \frac{1}{2} = 1 \cdot \left(x - \frac{1}{4}\right)$

$y - \frac{1}{2} = x - \frac{1}{4}$

$y = x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

$y = x + \frac{1}{4}$

Ответ: $y = x + \frac{1}{4}$