Номер 40.11, страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.11. Докажите, что любая касательная к графику функции $f$ образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс:

1) $f(x) = 6 - x - x^3$;

2) $f(x) = \frac{5 - x}{x - 3}$.

Угол, который образует касательная к графику функции с положительным направлением оси абсцисс, определяется значением производной в точке касания. Тангенс угла наклона касательной $ \alpha $ равен значению производной в точке касания $ x_0 $: $ k = \tan(\alpha) = f'(x_0) $.

Тупой угол — это угол $ \alpha $, для которого выполняется условие $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $. Тангенс тупого угла является отрицательным числом, то есть $ \tan(\alpha) < 0 $.

Таким образом, чтобы доказать, что любая касательная к графику функции образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс, необходимо доказать, что производная этой функции $ f'(x) $ отрицательна для любого $ x $ из ее области определения.

1) $ f(x) = 6 - x - x^3 $

Найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $ D(f) = R $.
$ f'(x) = (6 - x - x^3)' = (6)' - (x)' - (x^3)' = 0 - 1 - 3x^2 = -1 - 3x^2 $.

Определим знак производной. Выражение $ x^2 $ всегда неотрицательно для любого действительного $ x $, то есть $ x^2 \ge 0 $. Следовательно, $ 3x^2 \ge 0 $, и $ 1 + 3x^2 \ge 1 $. Так как выражение $ (1 + 3x^2) $ всегда положительно, то $ f'(x) = -(1 + 3x^2) $ всегда будет отрицательным числом.

Поскольку $ f'(x) < 0 $ для всех $ x \in R $, тангенс угла наклона любой касательной к графику этой функции отрицателен. Это означает, что угол наклона является тупым, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) $ f(x) = \frac{5 - x}{x - 3} $

Найдем производную функции. Область определения функции: $ x - 3 \ne 0 \implies x \ne 3 $, то есть $ D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) $.
Используя правило дифференцирования частного $ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $, получаем:
$ f'(x) = \left(\frac{5 - x}{x - 3}\right)' = \frac{(5 - x)'(x - 3) - (5 - x)(x - 3)'}{(x - 3)^2} = \frac{-1 \cdot (x - 3) - (5 - x) \cdot 1}{(x - 3)^2} = \frac{-x + 3 - 5 + x}{(x - 3)^2} = \frac{-2}{(x - 3)^2} $.

Определим знак производной. Числитель дроби равен $ -2 $ (отрицательное число). Знаменатель $ (x - 3)^2 $ является квадратом ненулевого выражения для любого $ x $ из области определения, следовательно, он всегда положителен.

Частное отрицательного числа и положительного числа всегда отрицательно, поэтому $ f'(x) < 0 $ для всех $ x \ne 3 $. Так как производная функции отрицательна на всей области определения, тангенс угла наклона любой касательной к графику этой функции отрицателен. Это означает, что угол наклона является тупым, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.