Номер 40.10, страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.10. Найдите такую точку графика функции $f$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha$, если:

1) $f(x) = \sqrt{3x} - \frac{x^3}{3}$, $\alpha = 60^\circ$;

2) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1$, $\alpha = 45^\circ$.

1)

Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ заключается в том, что её значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$.

Следовательно, для нахождения абсциссы искомой точки $x_0$ необходимо решить уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

Дана функция $f(x) = \sqrt{3}x - \frac{x^3}{3}$ и угол $\alpha = 60^\circ$.

1. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{3}x - \frac{x^3}{3})' = \sqrt{3} - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = \sqrt{3} - x^2$.

2. Вычислим тангенс заданного угла:
$k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

3. Приравняем производную к тангенсу угла и решим уравнение:
$f'(x) = k$
$\sqrt{3} - x^2 = \sqrt{3}$
$-x^2 = 0$
$x = 0$.

4. Найдём ординату точки, подставив найденное значение $x = 0$ в исходную функцию:
$y = f(0) = \sqrt{3} \cdot 0 - \frac{0^3}{3} = 0$.

Таким образом, искомая точка графика функции — это $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

2)

Дана функция $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1$ и угол $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + x - 1)' = 3x^2 - 4x + 1$.

2. Вычислим тангенс заданного угла:
$k = \tan(45^\circ) = 1$.

3. Приравняем производную к тангенсу угла и решим уравнение:
$f'(x) = k$
$3x^2 - 4x + 1 = 1$
$3x^2 - 4x = 0$
$x(3x - 4) = 0$.

Уравнение имеет два корня:
$x_1 = 0$
$3x_2 - 4 = 0 \implies 3x_2 = 4 \implies x_2 = \frac{4}{3}$.

4. Найдём ординаты для каждого значения $x$:
При $x_1 = 0$:
$y_1 = f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 - 1 = -1$.
Первая точка: $(0, -1)$.

При $x_2 = \frac{4}{3}$:
$y_2 = f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 - 2(\frac{4}{3})^2 + \frac{4}{3} - 1 = \frac{64}{27} - 2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{4}{3} - 1$.
Приведём дроби к общему знаменателю 27:
$y_2 = \frac{64}{27} - \frac{32 \cdot 3}{27} + \frac{4 \cdot 9}{27} - \frac{27}{27} = \frac{64 - 96 + 36 - 27}{27} = \frac{100 - 123}{27} = -\frac{23}{27}$.
Вторая точка: $(\frac{4}{3}, -\frac{23}{27})$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки.

Ответ: $(0, -1)$ и $(\frac{4}{3}, -\frac{23}{27})$.