Номер 40.6, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.6. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке его пересечения с осью абсцисс:

1) $f(x) = \frac{x-1}{x^2+1};$

2) $f(x) = 3x - x^2.$

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем точку пересечения графика функции $f(x) = \frac{x-1}{x^2+1}$ с осью абсцисс. Для этого решим уравнение $f(x) = 0$:

$\frac{x-1}{x^2+1} = 0$

Так как знаменатель $x^2+1 > 0$ для любого действительного $x$, то дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Таким образом, точка касания $x_0 = 1$. Значение функции в этой точке $f(1) = 0$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x-1)'(x^2+1) - (x-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$

Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{-1^2+2 \cdot 1+1}{(1^2+1)^2} = \frac{-1+2+1}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(1)=0$ и $f'(1)=\frac{1}{2}$ в общее уравнение касательной:

$y = 0 + \frac{1}{2}(x - 1)$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.

2) Для функции $f(x) = 3x - x^2$ найдем точки пересечения с осью абсцисс:

$f(x) = 0$

$3x - x^2 = 0$

$x(3 - x) = 0$

Получаем две точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Значит, нужно найти уравнения касательных в двух точках.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: точка касания $x_0 = 0$.

Значение функции в этой точке: $f(0) = 3 \cdot 0 - 0^2 = 0$.

Значение производной в этой точке: $f'(0) = 3 - 2 \cdot 0 = 3$.

Уравнение касательной:

$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$

$y = 0 + 3(x - 0)$

$y = 3x$

Случай 2: точка касания $x_0 = 3$.

Значение функции в этой точке: $f(3) = 3 \cdot 3 - 3^2 = 9 - 9 = 0$.

Значение производной в этой точке: $f'(3) = 3 - 2 \cdot 3 = 3 - 6 = -3$.

Уравнение касательной:

$y = f(3) + f'(3)(x - 3)$

$y = 0 + (-3)(x - 3)$

$y = -3x + 9$

Ответ: $y = 3x$ и $y = -3x + 9$.