Номер 40.1, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.1. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = x^2 + 3x, x_0 = -1;$

2) $f(x) = 4\sqrt{x} - 3, x_0 = 9;$

3) $f(x) = \sin x, x_0 = 0;$

4) $f(x) = \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right), x_0 = \frac{\pi}{2};$

5) $f(x) = \frac{x}{x+1}, x_0 = -2;$

6) $f(x) = \sqrt{2x+5}, x_0 = 2.$

Общая формула для уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит следующим образом:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в этой же точке (тангенс угла наклона касательной).

1) $f(x) = x^2 + 3x, x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = (-1)^2 + 3 \cdot (-1) = 1 - 3 = -2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^2 + 3x)' = 2x + 3$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = -2$, $f'(x_0) = 1$ и $x_0 = -1$ в уравнение касательной:
$y = -2 + 1 \cdot (x - (-1))$
$y = -2 + (x + 1)$
$y = x - 1$.

Ответ: $y = x - 1$.

2) $f(x) = 4\sqrt{x} - 3, x_0 = 9$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 9$:
$f(9) = 4\sqrt{9} - 3 = 4 \cdot 3 - 3 = 12 - 3 = 9$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (4\sqrt{x} - 3)' = (4x^{1/2} - 3)' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 9$:
$f'(9) = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 9$, $f'(x_0) = \frac{2}{3}$ и $x_0 = 9$ в уравнение касательной:
$y = 9 + \frac{2}{3}(x - 9)$
$y = 9 + \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} \cdot 9$
$y = 9 + \frac{2}{3}x - 6$
$y = \frac{2}{3}x + 3$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x + 3$.

3) $f(x) = \sin x, x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = \sin 0 = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \cos 0 = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 0$, $f'(x_0) = 1$ и $x_0 = 0$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 1 \cdot (x - 0)$
$y = x$.

Ответ: $y = x$.

4) $f(x) = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4}), x_0 = \frac{\pi}{2}$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f(\frac{\pi}{2}) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ (используя правило производной сложной функции):
$f'(x) = (\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}))' = \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})} \cdot (x - \frac{\pi}{4})' = \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 1$, $f'(x_0) = 2$ и $x_0 = \frac{\pi}{2}$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 2(x - \frac{\pi}{2})$
$y = 1 + 2x - 2 \cdot \frac{\pi}{2}$
$y = 1 + 2x - \pi$
$y = 2x + 1 - \pi$.

Ответ: $y = 2x + 1 - \pi$.

5) $f(x) = \frac{x}{x+1}, x_0 = -2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:
$f(-2) = \frac{-2}{-2+1} = \frac{-2}{-1} = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ (используя правило производной частного):
$f'(x) = (\frac{x}{x+1})' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:
$f'(-2) = \frac{1}{(-2+1)^2} = \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 2$, $f'(x_0) = 1$ и $x_0 = -2$ в уравнение касательной:
$y = 2 + 1 \cdot (x - (-2))$
$y = 2 + (x + 2)$
$y = x + 4$.

Ответ: $y = x + 4$.

6) $f(x) = \sqrt{2x+5}, x_0 = 2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = \sqrt{2 \cdot 2 + 5} = \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ (используя правило производной сложной функции):
$f'(x) = (\sqrt{2x+5})' = \frac{1}{2\sqrt{2x+5}} \cdot (2x+5)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+5}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+5}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 2 + 5}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 3$, $f'(x_0) = \frac{1}{3}$ и $x_0 = 2$ в уравнение касательной:
$y = 3 + \frac{1}{3}(x - 2)$
$y = 3 + \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$
$y = \frac{1}{3}x + \frac{9}{3} - \frac{2}{3}$
$y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$.