Номер 39.29, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.29. Функции $f$ и $g$ определены на $\mathbb{R}$. Что можно утверждать о дифференцируемости функции $y = f(x) + g(x)$ в точке $x_0$, если:

1) $f$ дифференцируема в точке $x_0$, а $g$ — нет;

2) $f$ и $g$ не дифференцируемы в точке $x_0$?

1) f дифференцируема в точке x₀, а g — нет;

Пусть функция $y(x) = f(x) + g(x)$. Дано, что функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, а функция $g(x)$ не дифференцируема в этой точке.

Докажем от противного. Предположим, что функция $y(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Тогда мы можем выразить функцию $g(x)$ через $f(x)$ и $y(x)$:

$g(x) = y(x) - f(x)$

Мы знаем, что если две функции дифференцируемы в некоторой точке, то их разность также дифференцируема в этой точке. В нашем случае:

• функция $y(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ (по нашему предположению);
• функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ (по условию).

Следовательно, их разность, функция $g(x)$, должна быть дифференцируема в точке $x_0$. Но это противоречит условию задачи, в котором сказано, что $g(x)$ не дифференцируема в точке $x_0$.

Таким образом, наше первоначальное предположение было неверным. Функция $y(x) = f(x) + g(x)$ не является дифференцируемой в точке $x_0$.

Ответ: функция $y = f(x) + g(x)$ не дифференцируема в точке $x_0$.

2) f и g не дифференцируемы в точке x₀?

В этом случае о дифференцируемости функции $y(x) = f(x) + g(x)$ в точке $x_0$ ничего определенного утверждать нельзя. Сумма может быть как дифференцируемой, так и недифференцируемой. Рассмотрим примеры для точки $x_0 = 0$.

Пример 1: Сумма не дифференцируема.

Пусть $f(x) = |x|$ и $g(x) = |x|$. Обе эти функции не дифференцируемы в точке $x_0 = 0$.
Их сумма: $y(x) = f(x) + g(x) = |x| + |x| = 2|x|$.
Функция $y(x) = 2|x|$ также не дифференцируема в точке $x_0 = 0$, так как ее график имеет в этой точке излом (односторонние производные не равны: $y'_-(0) = -2$, а $y'_+(0) = 2$).

Пример 2: Сумма дифференцируема.

Пусть $f(x) = |x|$ и $g(x) = -|x|$. Обе эти функции не дифференцируемы в точке $x_0 = 0$.
Их сумма: $y(x) = f(x) + g(x) = |x| + (-|x|) = 0$.
Функция $y(x) = 0$ (константа) дифференцируема на всей числовой оси, включая точку $x_0 = 0$. Ее производная в этой точке равна $0$.

Поскольку существуют примеры, приводящие к разным результатам, сделать однозначный вывод о дифференцируемости суммы невозможно.

Ответ: функция $y = f(x) + g(x)$ может быть как дифференцируемой, так и не дифференцируемой в точке $x_0$.