Номер 39.25, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.25. В точках $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$ найдите производную функции:

1) $f(x)=x^2 - 6|x| + 5;$

2) $f(x)=|x^2 - 6x + 5|.$

1) $f(x) = x^2 - 6|x| + 5$

Для нахождения производной необходимо раскрыть модуль. Функция $|x|$ определяется следующим образом:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Следовательно, функцию $f(x)$ можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 5, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 - 6(-x) + 5 = x^2 + 6x + 5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Теперь найдем производную для каждого интервала:

При $x > 0$: $f'(x) = (x^2 - 6x + 5)' = 2x - 6$.

При $x < 0$: $f'(x) = (x^2 + 6x + 5)' = 2x + 6$.

Вычислим значения производной в заданных точках.

В точке $x_1 = -2$ (поскольку $-2 < 0$, используем вторую формулу):

$f'(-2) = 2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2$.

В точке $x_2 = 2$ (поскольку $2 > 0$, используем первую формулу):

$f'(2) = 2(2) - 6 = 4 - 6 = -2$.

Ответ: $f'(-2) = 2$; $f'(2) = -2$.

2) $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$

Для раскрытия модуля определим знаки выражения, стоящего под модулем. Для этого решим уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Используя теорему Виета или разложение на множители, получаем: $(x-1)(x-5)=0$. Корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=5$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x + 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, выражение $x^2 - 6x + 5 \ge 0$ при $x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$ и $x^2 - 6x + 5 < 0$ при $x \in (1, 5)$.

Таким образом, функцию $f(x)$ можно записать в виде:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 5, & \text{если } x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty) \\ -(x^2 - 6x + 5) = -x^2 + 6x - 5, & \text{если } x \in (1, 5) \end{cases}$

Найдем производную для каждого интервала:

При $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$: $f'(x) = (x^2 - 6x + 5)' = 2x - 6$.

При $x \in (1, 5)$: $f'(x) = (-x^2 + 6x - 5)' = -2x + 6$.

Вычислим значения производной в заданных точках.

В точке $x_1 = -2$ (поскольку $-2 \in (-\infty, 1)$, используем первую формулу):

$f'(-2) = 2(-2) - 6 = -4 - 6 = -10$.

В точке $x_2 = 2$ (поскольку $2 \in (1, 5)$, используем вторую формулу):

$f'(2) = -2(2) + 6 = -4 + 6 = 2$.

Ответ: $f'(-2) = -10$; $f'(2) = 2$.