Номер 39.18, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.18. Ученик предлагает находить производную функции $y = \sin 2x$ так:

1) делает замену $2x = t$ и получает функцию $y = \sin t;$

2) далее пишет: $y' = (\sin t)' = \cos t;$

3) потом подставляет значение $2x = t$ и делает вывод, что $(\sin 2x)' = \cos 2x.$

В чём ошибка этого ученика?

Ошибка ученика заключается в том, что он не применил или неверно применил правило дифференцирования сложной (композитной) функции, также известное как цепное правило.

Функция $y = \sin(2x)$ является сложной, так как она представляет собой композицию двух функций:

• внешней функции $f(t) = \sin t$;
• внутренней функции $t(x) = 2x$.

Правило дифференцирования сложной функции $y = f(t(x))$ гласит, что производная такой функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу $t$ на производную внутренней функции по основному аргументу $x$:

$y'(x) = f'(t(x)) \cdot t'(x)$

Рассмотрим действия ученика с точки зрения этого правила:

1) Ученик правильно определил внешнюю и внутреннюю функции, сделав замену $t = 2x$.

2) Написав $y' = (\sin t)' = \cos t$, ученик нашёл производную только внешней функции $f'(t) = \cos t$. На этом шаге он совершил ключевую ошибку: он не умножил результат на производную внутренней функции $t'(x)$. По сути, он нашёл производную $\frac{dy}{dt}$, в то время как требовалось найти производную по $x$, то есть $\frac{dy}{dx}$.

3) Подстановка $t = 2x$ в неполный результат привела к неверному ответу.

Правильное решение должно выглядеть так:

Найдём производную внешней функции: $f'(t) = (\sin t)' = \cos t$.

Найдём производную внутренней функции: $t'(x) = (2x)' = 2$.

Согласно цепному правилу, перемножим эти результаты, подставив вместо $t$ его выражение через $x$:

$y'(x) = f'(t(x)) \cdot t'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.

Ответ: Ошибка ученика состоит в том, что при нахождении производной сложной функции он не умножил производную внешней функции на производную внутренней функции. Он проигнорировал множитель $(2x)' = 2$.