Номер 39.17, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.17. Вычислите:

1) $f'(0)$, если $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}$;

2) $f'(0)$, если $f(x) = (\cos 3x + 6)^3$.

1)Дана функция $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}$. Чтобы найти производную $f'(x)$, мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и правило дифференцирования частного. Представим функцию в виде $f(x) = (u(x))^{1/2}$, где $u(x) = \frac{x-1}{2x-1}$. Производная $f'(x)$ равна:$f'(x) = \frac{1}{2}(u(x))^{-1/2} \cdot u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$. Найдем производную $u'(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{g}{h})' = \frac{g'h - gh'}{h^2}$:$u'(x) = \frac{(x-1)'(2x-1) - (x-1)(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \frac{1 \cdot (2x-1) - (x-1) \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{2x-1-2x+2}{(2x-1)^2} = \frac{1}{(2x-1)^2}$. Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для $f'(x)$:$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}} \cdot \frac{1}{(2x-1)^2}$. Вычислим значение производной в точке $x=0$:$f'(0) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{0-1}{2 \cdot 0 - 1}}} \cdot \frac{1}{(2 \cdot 0 - 1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{-1}{-1}}} \cdot \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{1}} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $f'(0) = \frac{1}{2}$.

2)Дана функция $f(x) = (\cos 3x + 6)^3$. Это сложная функция. Для нахождения ее производной воспользуемся цепным правилом. Пусть внешняя функция $g(u) = u^3$, а внутренняя функция $u(x) = \cos 3x + 6$. Тогда производная $f'(x)$ находится по формуле $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.$f'(x) = 3(u(x))^2 \cdot u'(x) = 3(\cos 3x + 6)^2 \cdot (\cos 3x + 6)'$. Найдем производную внутренней функции $u'(x) = (\cos 3x + 6)'$. Производная от константы 6 равна 0. Производная от $\cos 3x$ также находится по цепному правилу: $(\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$. Таким образом, $u'(x) = -3\sin(3x)$. Подставим $u'(x)$ в выражение для $f'(x)$:$f'(x) = 3(\cos 3x + 6)^2 \cdot (-3\sin(3x)) = -9(\cos 3x + 6)^2 \sin(3x)$. Теперь вычислим значение производной в точке $x=0$:$f'(0) = -9(\cos(3 \cdot 0) + 6)^2 \sin(3 \cdot 0) = -9(\cos(0) + 6)^2 \sin(0)$. Так как $\cos(0) = 1$ и $\sin(0) = 0$, получаем:$f'(0) = -9(1+6)^2 \cdot 0 = -9 \cdot 7^2 \cdot 0 = 0$.
Ответ: $f'(0) = 0$.