Номер 39.16, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.16. Найдите производную функции:

1) $y = \cos^3 2x$;

2) $y = \sqrt{\sin\left(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4}\right)}$;

3) $y = \left(\sin\frac{x}{3} - 5\right)^6$.

1) Дана функция $y = \cos^3 2x$.

Эта функция является сложной, поэтому для нахождения её производной необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Функцию можно представить как $y = u^3$, где $u = \cos(2x)$.

Согласно цепному правилу, $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

1. Находим производную внешней функции $u^3$ по $u$:
$(u^3)' = 3u^2$. Подставляя обратно $u = \cos(2x)$, получаем $3\cos^2(2x)$.

2. Находим производную внутренней функции $u = \cos(2x)$ по $x$. Это также сложная функция, где внутренняя часть - $2x$.
$(\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.

3. Перемножаем результаты, чтобы найти производную исходной функции:
$y' = 3\cos^2(2x) \cdot (-2\sin(2x))$.

4. Упрощаем выражение:
$y' = -6\cos^2(2x)\sin(2x)$.

Ответ: $y' = -6\cos^2(2x)\sin(2x)$.

2) Дана функция $y = \sqrt{\sin(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}$.

Это сложная функция. Представим её в виде $y = u^{1/2}$, где $u = \sin(v)$, а $v = \frac{x}{5} - \frac{\pi}{4}$. Будем использовать цепное правило $y'_x = y'_u \cdot u'_v \cdot v'_x$.

1. Производная внешней функции $y = u^{1/2}$ по $u$:
$y'_u = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\sin(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}}$.

2. Производная средней функции $u = \sin(v)$ по $v$:
$u'_v = \cos(v) = \cos(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})$.

3. Производная внутренней функции $v = \frac{x}{5} - \frac{\pi}{4}$ по $x$:
$v'_x = (\frac{1}{5}x - \frac{\pi}{4})' = \frac{1}{5}$.

4. Перемножаем все найденные производные:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{\sin(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}} \cdot \cos(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4}) \cdot \frac{1}{5}$.

5. Запишем итоговое выражение в виде одной дроби:
$y' = \frac{\cos(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}{10\sqrt{\sin(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}}$.

Ответ: $y' = \frac{\cos(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}{10\sqrt{\sin(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4})}}$.

3) Дана функция $y = (\sin\frac{x}{3} - 5)^6$.

Это сложная функция вида $y=u^6$, где $u = \sin\frac{x}{3} - 5$. Применим цепное правило.

1. Производная внешней функции $y = u^6$ по $u$:
$(u^6)' = 6u^5 = 6(\sin\frac{x}{3} - 5)^5$.

2. Производная внутренней функции $u = \sin\frac{x}{3} - 5$ по $x$. Используем правило дифференцирования разности:
$u' = (\sin\frac{x}{3} - 5)' = (\sin\frac{x}{3})' - (5)'$.

Производная константы $(5)' = 0$.
Для нахождения производной $(\sin\frac{x}{3})'$ снова применяем цепное правило:
$(\sin\frac{x}{3})' = \cos(\frac{x}{3}) \cdot (\frac{x}{3})' = \cos(\frac{x}{3}) \cdot \frac{1}{3}$.
Таким образом, $u' = \frac{1}{3}\cos\frac{x}{3}$.

3. Перемножаем производные внешней и внутренней функций:
$y' = 6(\sin\frac{x}{3} - 5)^5 \cdot \frac{1}{3}\cos\frac{x}{3}$.

4. Упрощаем выражение:
$y' = \frac{6}{3}(\sin\frac{x}{3} - 5)^5 \cos\frac{x}{3} = 2(\sin\frac{x}{3} - 5)^5 \cos\frac{x}{3}$.

Ответ: $y' = 2\cos\frac{x}{3} (\sin\frac{x}{3} - 5)^5$.