Номер 39.14, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.14. Найдите производную функции:

1) $y = x\sqrt{2x + 1};$

2) $y = \sin x \cos 2x;$

3) $y = \operatorname{tg} x \sin (2x + 5);$

4) $y = \frac{\cos 3x}{x - 1};$

5) $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}};$

6) $y = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}.$

1) Для функции $y = x\sqrt{2x+1}$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{2x+1}$. Находим их производные. Производная $u'(x) = (x)' = 1$. Для нахождения производной $v(x)$ используем правило производной сложной функции: $v'(x) = (\sqrt{2x+1})' = ((2x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$. Теперь подставляем все в формулу производной произведения: $y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{2x+1} + x \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = \sqrt{2x+1} + \frac{x}{\sqrt{2x+1}}$. Приведем выражение к общему знаменателю: $y' = \frac{(\sqrt{2x+1})^2 + x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{2x+1+x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}}$. Ответ: $y' = \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}}$.

2) Для функции $y = \sin x \cos 2x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = \sin x$ и $v(x) = \cos 2x$. Находим их производные: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$. Производную $v(x)$ находим как производную сложной функции: $v'(x) = (\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$. Подставляем в формулу производной произведения: $y' = u'v + uv' = \cos x \cdot \cos 2x + \sin x \cdot (-2\sin 2x) = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x$. Ответ: $y' = \cos x \cos 2x - 2\sin x \sin 2x$.

3) Для функции $y = \tg x \sin(2x+5)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = \tg x$ и $v(x) = \sin(2x+5)$. Находим их производные: $u'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Производную $v(x)$ находим как производную сложной функции: $v'(x) = (\sin(2x+5))' = \cos(2x+5) \cdot (2x+5)' = 2\cos(2x+5)$. Подставляем в формулу производной произведения: $y' = u'v + uv' = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \sin(2x+5) + \tg x \cdot 2\cos(2x+5) = \frac{\sin(2x+5)}{\cos^2 x} + 2\tg x \cos(2x+5)$. Ответ: $y' = \frac{\sin(2x+5)}{\cos^2 x} + 2\tg x \cos(2x+5)$.

4) Для функции $y = \frac{\cos 3x}{x-1}$ используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = \cos 3x$ и $v(x) = x-1$. Находим их производные. Для $u(x)$ используем правило производной сложной функции: $u'(x) = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin 3x$. $v'(x) = (x-1)' = 1$. Подставляем в формулу производной частного: $y' = \frac{-3\sin 3x \cdot (x-1) - \cos 3x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-3(x-1)\sin 3x - \cos 3x}{(x-1)^2}$. Ответ: $y' = \frac{-3(x-1)\sin 3x - \cos 3x}{(x-1)^2}$.

5) Для функции $y = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = \sqrt{x}-1$ и $v(x) = \sqrt{x}+1$. Находим их производные: $u'(x) = (\sqrt{x}-1)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. $v'(x) = (\sqrt{x}+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Подставляем в формулу производной частного: $y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2}$. Выносим общий множитель $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ в числителе: $y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} ((\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1))}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} (\sqrt{x}+1 - \sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 2}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2}$. Упрощаем выражение: $y' = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$. Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$.

6) Для функции $y = \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = \sqrt{x^2+1}$ и $v(x) = x$. Находим их производные. Для $u(x)$ используем правило производной сложной функции: $u'(x) = (\sqrt{x^2+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. $v'(x) = (x)' = 1$. Подставляем в формулу производной частного: $y' = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \cdot x - \sqrt{x^2+1} \cdot 1}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} - \sqrt{x^2+1}}{x^2}$. Приведем числитель к общему знаменателю: $\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} - \sqrt{x^2+1} = \frac{x^2 - (\sqrt{x^2+1})^2}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x^2 - (x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{-1}{\sqrt{x^2+1}}$. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь: $y' = \frac{\frac{-1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2} = -\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$. Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$.