Номер 39.7, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.7. Чему равно значение производной функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = \frac{2-3x}{x+2}$, $x_0 = -3;

2) $f(x) = (1+3x)\sqrt{x}$, $x_0 = 9;

3) $f(x) = 3\sqrt[3]{x} - 10\sqrt[5]{x}$, $x_0 = 1;

4) $f(x) = x \sin x$, $x_0 = 0?

1) $f(x) = \frac{2 - 3x}{x + 2}, x_0 = -3$;

Для нахождения производной функции $f(x)$, которая является частным двух функций, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = 2 - 3x$ и $v(x) = x + 2$. Найдем их производные:

$u'(x) = (2 - 3x)' = -3$

$v'(x) = (x + 2)' = 1$

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{-3(x + 2) - (2 - 3x) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{-3x - 6 - 2 + 3x}{(x + 2)^2} = \frac{-8}{(x + 2)^2}$

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = -3$:

$f'(-3) = \frac{-8}{(-3 + 2)^2} = \frac{-8}{(-1)^2} = \frac{-8}{1} = -8$

Ответ: -8

2) $f(x) = (1 + 3x)\sqrt{x}, x_0 = 9$;

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

В данном случае $u(x) = 1 + 3x$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$. Найдем их производные:

$u'(x) = (1 + 3x)' = 3$

$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Применяем правило произведения:

$f'(x) = 3 \cdot \sqrt{x} + (1 + 3x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 3\sqrt{x} + \frac{1 + 3x}{2\sqrt{x}}$

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 9$:

$f'(9) = 3\sqrt{9} + \frac{1 + 3 \cdot 9}{2\sqrt{9}} = 3 \cdot 3 + \frac{1 + 27}{2 \cdot 3} = 9 + \frac{28}{6} = 9 + \frac{14}{3}$

Приведем к общему знаменателю:

$f'(9) = \frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{14}{3} = \frac{27 + 14}{3} = \frac{41}{3}$

Ответ: $\frac{41}{3}$

3) $f(x) = 3\sqrt[3]{x} - 10\sqrt[5]{x}, x_0 = 1$;

Сначала представим функцию в виде степенных функций, чтобы было удобнее дифференцировать:

$f(x) = 3x^{1/3} - 10x^{1/5}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (3x^{1/3})' - (10x^{1/5})' = 3 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} - 10 \cdot \frac{1}{5}x^{1/5 - 1}$

$f'(x) = 1 \cdot x^{-2/3} - 2 \cdot x^{-4/5} = \frac{1}{x^{2/3}} - \frac{2}{x^{4/5}}$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{1}{1^{2/3}} - \frac{2}{1^{4/5}} = \frac{1}{1} - \frac{2}{1} = 1 - 2 = -1$

Ответ: -1

4) $f(x) = x \sin x, x_0 = 0$

Для нахождения производной функции $f(x)$ используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = \sin x$. Их производные:

$u'(x) = (x)' = 1$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = \sin(0) + 0 \cdot \cos(0)$

Зная, что $\sin(0) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$f'(0) = 0 + 0 \cdot 1 = 0$

Ответ: 0