Номер 39.4, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.4. Найдите производную функции:

1) $y = (x^3 - 2)(x^2 + 1)$;

2) $y = (x + 5)\sqrt{x}$;

3) $y = x^4 \cos x$;

4) $y = x \operatorname{tg} x$.

1) $y = (x^3 - 2)(x^2 + 1)$

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = x^3 - 2$ и $v(x) = x^2 + 1$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом производной произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (x^3 - 2)' = 3x^2$

$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$

Теперь подставим найденные значения в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (3x^2)(x^2 + 1) + (x^3 - 2)(2x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y' = 3x^4 + 3x^2 + 2x^4 - 4x = 5x^4 + 3x^2 - 4x$

Ответ: $5x^4 + 3x^2 - 4x$

2) $y = (x + 5)\sqrt{x}$

Эта функция также является произведением: $u(x) = x + 5$ и $v(x) = \sqrt{x}$. Применим правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (x + 5)' = 1$

$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим в формулу:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{x} + (x + 5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x + 5}{2\sqrt{x}}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$y' = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x + 5}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x + 5}{2\sqrt{x}} = \frac{3x + 5}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{3x + 5}{2\sqrt{x}}$

3) $y = x^4 \cos x$

Функция является произведением $u(x) = x^4$ и $v(x) = \cos x$. Используем правило $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Находим производные:

$u'(x) = (x^4)' = 4x^3$

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = (4x^3)(\cos x) + (x^4)(-\sin x)$

Упрощаем выражение:

$y' = 4x^3 \cos x - x^4 \sin x$

Ответ: $4x^3 \cos x - x^4 \sin x$

4) $y = x \operatorname{tg} x$

Функция является произведением $u(x) = x$ и $v(x) = \operatorname{tg} x$. Используем правило $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Находим производные:

$u'(x) = (x)' = 1$

$v'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \operatorname{tg} x + x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$

Упрощаем выражение:

$y' = \operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$

Ответ: $\operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$