Номер 38.25, страница 295 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.25. Докажите, пользуясь определением, что функция $f(x) = x|x|$ является дифференцируемой в точке $x_0 = 0$. Проиллюстрируйте полученный результат графически.

По определению, функция $f(x)$ является дифференцируемой в точке $x_0$, если существует конечный предел отношения приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда $\Delta x \to 0$. Этот предел называется производной функции в точке $x_0$ и обозначается $f'(x_0)$.

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Применим это определение для функции $f(x) = x|x|$ в точке $x_0 = 0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = 0 \cdot |0| = 0$.

2. Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0 = 0$ при приращении аргумента $\Delta x$:
$\Delta f = f(0 + \Delta x) - f(0) = f(\Delta x) - 0 = \Delta x |\Delta x|$.

3. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x |\Delta x|}{\Delta x}$.

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x |\Delta x|}{\Delta x}$.

Поскольку в определении предела $\Delta x$ стремится к нулю, но не равно ему, мы можем сократить дробь на $\Delta x$:

$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x| = 0$.

Так как предел существует и является конечным числом (равен 0), то функция $f(x) = x|x|$ дифференцируема в точке $x_0 = 0$. Что и требовалось доказать.

Графическая иллюстрация

Для построения графика представим функцию $f(x) = x|x|$ в кусочно-заданном виде, раскрыв модуль:

$f(x) = \begin{cases} x \cdot x = x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ x \cdot (-x) = -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График функции состоит из двух ветвей парабол. Для $x \ge 0$ это часть стандартной параболы $y = x^2$, а для $x < 0$ — часть параболы $y = -x^2$, симметричной первой относительно начала координат. В точке $(0, 0)$ эти две ветви плавно соединяются без излома.

Значение производной $f'(0) = 0$ — это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 0$. Уравнение касательной: $y = f(0) + f'(0)(x-0)$, что дает $y = 0 + 0 \cdot x$, то есть $y=0$. Таким образом, касательной к графику в начале координат является сама ось абсцисс (ось Ox).

Горизонтальное положение касательной и отсутствие "острого угла" на графике в точке $(0,0)$ наглядно демонстрируют, что функция дифференцируема в этой точке.

Ответ: производная функции $f(x)=x|x|$ в точке $x_0=0$ существует и равна 0, то есть $f'(0)=0$.