Номер 38.23, страница 295 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.23. Докажите, пользуясь определением, что функция $f(x) = \begin{cases} 1-x^2, \text{ если } x < 0, \\ 1, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$ является дифференцируемой в точке $x_0 = 0$.

Проиллюстрируйте полученный результат графически.

Докажите, пользуясь определением, что функция $f(x) = \begin{cases} 1 - x^2, & \text{если } x < 0, \\ 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$ является дифференцируемой в точке $x_0 = 0$.

По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ вычисляется как предел:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке $x_0 = 0$, этот предел должен существовать и быть конечным. Поскольку функция задана по-разному для $x < 0$ и $x \ge 0$, нам необходимо найти односторонние пределы (левую и правую производные) и проверить, равны ли они.

Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$. Согласно условию, при $x \ge 0$ функция $f(x) = 1$, следовательно, $f(0) = 1$.

1. Левая производная в точке $x_0 = 0$:

Вычисляем предел при $\Delta x \to 0^-$ (то есть $\Delta x$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным). В этом случае $x_0 + \Delta x = 0 + \Delta x = \Delta x < 0$. Для таких значений аргумента $f(\Delta x) = 1 - (\Delta x)^2$.

$f'_{-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(1 - (\Delta x)^2) - 1}{\Delta x}$

Упростим выражение под знаком предела:

$f'_{-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-(\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (-\Delta x) = 0$

2. Правая производная в точке $x_0 = 0$:

Вычисляем предел при $\Delta x \to 0^+$ (то есть $\Delta x$ стремится к нулю, оставаясь положительным). В этом случае $x_0 + \Delta x = 0 + \Delta x = \Delta x > 0$. Для таких значений аргумента $f(\Delta x) = 1$.

$f'_{+}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{1 - 1}{\Delta x}$

Упростим выражение под знаком предела:

$f'_{+}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} 0 = 0$

Поскольку левая и правая производные в точке $x_0 = 0$ существуют и равны друг другу ($f'_{-}(0) = f'_{+}(0) = 0$), то производная функции в этой точке существует и равна этому значению: $f'(0) = 0$. Следовательно, функция $f(x)$ является дифференцируемой в точке $x_0 = 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Функция дифференцируема в точке $x_0 = 0$, и ее производная $f'(0) = 0$.

Проиллюстрируйте полученный результат графически.

График функции $f(x)$ состоит из двух частей:

1. Для $x < 0$ график представляет собой ветвь параболы $y = 1 - x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вниз. Мы рассматриваем только левую ветвь этой параболы.

2. Для $x \ge 0$ график представляет собой горизонтальный луч $y = 1$, начинающийся в точке $(0, 1)$ и идущий вправо.

В точке $x_0 = 0$ левая ветвь параболы плавно соединяется с горизонтальным лучом в точке $(0, 1)$. "Плавность" соединения означает, что у графика в этой точке существует единственная касательная. Так как мы доказали, что $f'(0) = 0$, касательная к графику функции в точке $(0, 1)$ является горизонтальной. Ее уравнение $y = 1$. Это совпадает с правой частью графика, что и обеспечивает отсутствие "излома".

Ответ: График функции, состоящий из ветви параболы для $x<0$ и горизонтального луча для $x \ge 0$, имеет в точке $(0, 1)$ плавное соединение без излома, что соответствует существованию единственной горизонтальной касательной, и, следовательно, дифференцируемости функции в этой точке.