Номер 39.2, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.2. Найдите производную функции:

1) $y = 2x^5 - x$;

2) $y = x^7 - 4\sqrt{x}$;

3) $y = \sin x + 2\cos x$;

4) $y = x - \frac{5}{x}$;

5) $y = 12 - \operatorname{ctg} x$;

6) $y = 0,4x^{-5} + \sqrt{3}$.

Дана функция $y = 2x^5 - x$.

Для нахождения производной используем правила дифференцирования: производная разности равна разности производных $(u-v)' = u' - v'$, постоянный множитель можно выносить за знак производной $(cu)' = c \cdot u'$, и производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (2x^5 - x)' = (2x^5)' - (x)'$

Находим производную каждого слагаемого:

$(2x^5)' = 2 \cdot (x^5)' = 2 \cdot 5x^{5-1} = 10x^4$.

$(x)' = 1$.

Следовательно, производная функции равна:

$y' = 10x^4 - 1$.

Ответ: $y' = 10x^4 - 1$.

Дана функция $y = x^7 - 4\sqrt{x}$.

Сначала представим $\sqrt{x}$ в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Функция примет вид: $y = x^7 - 4x^{1/2}$.

Применим правила дифференцирования:

$y' = (x^7 - 4x^{1/2})' = (x^7)' - (4x^{1/2})'$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.

$(4x^{1/2})' = 4 \cdot (x^{1/2})' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 2x^{-1/2}$.

Запишем $x^{-1/2}$ в виде дроби с корнем: $x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Тогда производная функции равна:

$y' = 7x^6 - \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = 7x^6 - \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Дана функция $y = \sin x + 2\cos x$.

Используем правила дифференцирования для тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

$y' = (\sin x + 2\cos x)' = (\sin x)' + (2\cos x)'$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(\sin x)' = \cos x$.

$(2\cos x)' = 2 \cdot (\cos x)' = 2 \cdot (-\sin x) = -2\sin x$.

Складывая производные, получаем:

$y' = \cos x - 2\sin x$.

Ответ: $y' = \cos x - 2\sin x$.

Дана функция $y = x - \frac{5}{x}$.

Представим дробь в виде степени: $\frac{5}{x} = 5x^{-1}$. Функция примет вид: $y = x - 5x^{-1}$.

Применим правила дифференцирования:

$y' = (x - 5x^{-1})' = (x)' - (5x^{-1})'$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(x)' = 1$.

$(5x^{-1})' = 5 \cdot (x^{-1})' = 5 \cdot (-1)x^{-1-1} = -5x^{-2}$.

Запишем $x^{-2}$ в виде дроби: $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Тогда $y' = 1 - (-5x^{-2}) = 1 + 5x^{-2} = 1 + \frac{5}{x^2}$.

Ответ: $y' = 1 + \frac{5}{x^2}$.

Дана функция $y = 12 - \operatorname{ctg} x$.

Используем правило дифференцирования разности, а также производную константы и котангенса.

Производная константы $(C)' = 0$. Производная котангенса $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

$y' = (12 - \operatorname{ctg} x)' = (12)' - (\operatorname{ctg} x)'$.

Подставляем значения производных:

$y' = 0 - (-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Дана функция $y = 0,4x^{-5} + \sqrt{3}$.

Используем правило дифференцирования суммы. Слагаемое $\sqrt{3}$ является константой, его производная равна нулю.

$y' = (0,4x^{-5} + \sqrt{3})' = (0,4x^{-5})' + (\sqrt{3})'$.

Находим производную первого слагаемого по степенной формуле:

$(0,4x^{-5})' = 0,4 \cdot (x^{-5})' = 0,4 \cdot (-5)x^{-5-1} = -2x^{-6}$.

Производная константы $(\sqrt{3})' = 0$.

Складывая производные, получаем:

$y' = -2x^{-6} + 0 = -2x^{-6}$.

Результат можно также записать в виде дроби: $y' = -\frac{2}{x^6}$.

Ответ: $y' = -2x^{-6}$.