Страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

39.1. Найдите производную функции:

1) $y = x^3 - 3x^2 + 6x - 10;$

2) $y = 4x^6 + 20\sqrt{x};$

3) $y = 7x^6 + \frac{4}{x} - 1;$

4) $y = 4\sin x - 5\cos x;$

5) $y = \operatorname{tg} x - 9x;$

6) $y = 2x^{-2} + 3x^{-3}.$

1) Дана функция $y = x^3 - 3x^2 + 6x - 10$.
Чтобы найти производную, применяем правило дифференцирования суммы/разности функций, а также формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и производной константы $(C)' = 0$.
$y' = (x^3 - 3x^2 + 6x - 10)' = (x^3)' - (3x^2)' + (6x)' - (10)'$
Вычисляем производную для каждого слагаемого:
$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$
$(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$
$(6x)' = 6 \cdot 1x^{1-1} = 6x^0 = 6$
$(10)' = 0$
Собрав все вместе, получаем:
$y' = 3x^2 - 6x + 6$
Ответ: $y' = 3x^2 - 6x + 6$

2) Дана функция $y = 4x^6 + 20\sqrt{x}$.
Представим корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Функция примет вид: $y = 4x^6 + 20x^{1/2}$.
Применяем правило дифференцирования суммы и степенной функции:
$y' = (4x^6 + 20x^{1/2})' = (4x^6)' + (20x^{1/2})'$
Находим производную каждого слагаемого:
$(4x^6)' = 4 \cdot 6x^{6-1} = 24x^5$
$(20x^{1/2})' = 20 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 10x^{-1/2}$
Запишем $x^{-1/2}$ в виде дроби с корнем: $10x^{-1/2} = \frac{10}{\sqrt{x}}$.
Итоговая производная:
$y' = 24x^5 + \frac{10}{\sqrt{x}}$
Ответ: $y' = 24x^5 + \frac{10}{\sqrt{x}}$

3) Дана функция $y = 7x^6 + \frac{4}{x} - 1$.
Представим дробь $\frac{4}{x}$ в виде степени: $4x^{-1}$. Функция примет вид: $y = 7x^6 + 4x^{-1} - 1$.
Дифференцируем по правилам:
$y' = (7x^6 + 4x^{-1} - 1)' = (7x^6)' + (4x^{-1})' - (1)'$
Вычисляем каждую производную отдельно:
$(7x^6)' = 7 \cdot 6x^{6-1} = 42x^5$
$(4x^{-1})' = 4 \cdot (-1)x^{-1-1} = -4x^{-2}$
$(1)' = 0$
Запишем $x^{-2}$ в виде дроби: $-4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$.
Объединяем результаты:
$y' = 42x^5 - \frac{4}{x^2}$
Ответ: $y' = 42x^5 - \frac{4}{x^2}$

4) Дана функция $y = 4\sin x - 5\cos x$.
Используем правила дифференцирования тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.
$y' = (4\sin x - 5\cos x)' = (4\sin x)' - (5\cos x)'$
Находим производные:
$(4\sin x)' = 4 \cdot (\sin x)' = 4\cos x$
$(5\cos x)' = 5 \cdot (\cos x)' = 5(-\sin x) = -5\sin x$
Подставляем в выражение:
$y' = 4\cos x - (-5\sin x) = 4\cos x + 5\sin x$
Ответ: $y' = 4\cos x + 5\sin x$

5) Дана функция $y = \text{tg }x - 9x$.
Используем производную тангенса $(\text{tg }x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и производную степенной функции.
$y' = (\text{tg }x - 9x)' = (\text{tg }x)' - (9x)'$
Находим производные:
$(\text{tg }x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
$(9x)' = 9$
Получаем разность:
$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - 9$
Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x} - 9$

6) Дана функция $y = 2x^{-2} + 3x^{-3}$.
Применяем правило дифференцирования суммы и степенной функции.
$y' = (2x^{-2} + 3x^{-3})' = (2x^{-2})' + (3x^{-3})'$
Дифференцируем каждое слагаемое:
$(2x^{-2})' = 2 \cdot (-2)x^{-2-1} = -4x^{-3}$
$(3x^{-3})' = 3 \cdot (-3)x^{-3-1} = -9x^{-4}$
Складываем результаты:
$y' = -4x^{-3} - 9x^{-4}$
Этот результат можно также представить в виде дробей: $y' = -\frac{4}{x^3} - \frac{9}{x^4}$.
Ответ: $y' = -4x^{-3} - 9x^{-4}$

39.2. Найдите производную функции:

1) $y = 2x^5 - x$;

2) $y = x^7 - 4\sqrt{x}$;

3) $y = \sin x + 2\cos x$;

4) $y = x - \frac{5}{x}$;

5) $y = 12 - \operatorname{ctg} x$;

6) $y = 0,4x^{-5} + \sqrt{3}$.

Дана функция $y = 2x^5 - x$.

Для нахождения производной используем правила дифференцирования: производная разности равна разности производных $(u-v)' = u' - v'$, постоянный множитель можно выносить за знак производной $(cu)' = c \cdot u'$, и производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (2x^5 - x)' = (2x^5)' - (x)'$

Находим производную каждого слагаемого:

$(2x^5)' = 2 \cdot (x^5)' = 2 \cdot 5x^{5-1} = 10x^4$.

$(x)' = 1$.

Следовательно, производная функции равна:

$y' = 10x^4 - 1$.

Ответ: $y' = 10x^4 - 1$.

Дана функция $y = x^7 - 4\sqrt{x}$.

Сначала представим $\sqrt{x}$ в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Функция примет вид: $y = x^7 - 4x^{1/2}$.

Применим правила дифференцирования:

$y' = (x^7 - 4x^{1/2})' = (x^7)' - (4x^{1/2})'$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.

$(4x^{1/2})' = 4 \cdot (x^{1/2})' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 2x^{-1/2}$.

Запишем $x^{-1/2}$ в виде дроби с корнем: $x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Тогда производная функции равна:

$y' = 7x^6 - \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = 7x^6 - \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Дана функция $y = \sin x + 2\cos x$.

Используем правила дифференцирования для тригонометрических функций: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

$y' = (\sin x + 2\cos x)' = (\sin x)' + (2\cos x)'$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(\sin x)' = \cos x$.

$(2\cos x)' = 2 \cdot (\cos x)' = 2 \cdot (-\sin x) = -2\sin x$.

Складывая производные, получаем:

$y' = \cos x - 2\sin x$.

Ответ: $y' = \cos x - 2\sin x$.

Дана функция $y = x - \frac{5}{x}$.

Представим дробь в виде степени: $\frac{5}{x} = 5x^{-1}$. Функция примет вид: $y = x - 5x^{-1}$.

Применим правила дифференцирования:

$y' = (x - 5x^{-1})' = (x)' - (5x^{-1})'$.

Находим производную каждого слагаемого:

$(x)' = 1$.

$(5x^{-1})' = 5 \cdot (x^{-1})' = 5 \cdot (-1)x^{-1-1} = -5x^{-2}$.

Запишем $x^{-2}$ в виде дроби: $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Тогда $y' = 1 - (-5x^{-2}) = 1 + 5x^{-2} = 1 + \frac{5}{x^2}$.

Ответ: $y' = 1 + \frac{5}{x^2}$.

Дана функция $y = 12 - \operatorname{ctg} x$.

Используем правило дифференцирования разности, а также производную константы и котангенса.

Производная константы $(C)' = 0$. Производная котангенса $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

$y' = (12 - \operatorname{ctg} x)' = (12)' - (\operatorname{ctg} x)'$.

Подставляем значения производных:

$y' = 0 - (-\frac{1}{\sin^2 x}) = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Дана функция $y = 0,4x^{-5} + \sqrt{3}$.

Используем правило дифференцирования суммы. Слагаемое $\sqrt{3}$ является константой, его производная равна нулю.

$y' = (0,4x^{-5} + \sqrt{3})' = (0,4x^{-5})' + (\sqrt{3})'$.

Находим производную первого слагаемого по степенной формуле:

$(0,4x^{-5})' = 0,4 \cdot (x^{-5})' = 0,4 \cdot (-5)x^{-5-1} = -2x^{-6}$.

Производная константы $(\sqrt{3})' = 0$.

Складывая производные, получаем:

$y' = -2x^{-6} + 0 = -2x^{-6}$.

Результат можно также записать в виде дроби: $y' = -\frac{2}{x^6}$.

Ответ: $y' = -2x^{-6}$.

39.3. Найдите производную функции:

1) $y = (x + 2)(x^2 - 4x + 5);$

2) $y = (3x + 5)(2x^2 - 1);$

3) $y = x^2 \sin x;$

4) $y = x \operatorname{ctg} x;$

5) $y = (2x + 1)\sqrt{x};$

6) $y = \sqrt{x} \cos x.$

1) Для нахождения производной функции $y = (x + 2)(x^2 - 4x + 5)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x + 2$ и $v = x^2 - 4x + 5$.
Находим их производные:

$u' = (x + 2)' = 1$
$v' = (x^2 - 4x + 5)' = 2x - 4$

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot (x^2 - 4x + 5) + (x + 2)(2x - 4)$

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

$y' = x^2 - 4x + 5 + 2x^2 - 4x + 4x - 8 = 3x^2 - 4x - 3$

Ответ: $3x^2 - 4x - 3$.

2) Для функции $y = (3x + 5)(2x^2 - 1)$ применяем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = 3x + 5$ и $v = 2x^2 - 1$.
Находим их производные:

$u' = (3x + 5)' = 3$
$v' = (2x^2 - 1)' = 4x$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = 3(2x^2 - 1) + (3x + 5)(4x)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$y' = 6x^2 - 3 + 12x^2 + 20x = 18x^2 + 20x - 3$

Ответ: $18x^2 + 20x - 3$.

3) Для функции $y = x^2 \sin x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^2$ и $v = \sin x$.
Находим их производные:

$u' = (x^2)' = 2x$
$v' = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$

Ответ: $2x \sin x + x^2 \cos x$.

4) Для функции $y = x \operatorname{ctg} x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x$ и $v = \operatorname{ctg} x$.
Находим их производные:

$u' = (x)' = 1$
$v' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \operatorname{ctg} x + x \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}$

Ответ: $\operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}$.

5) Для функции $y = (2x + 1)\sqrt{x}$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = 2x + 1$ и $v = \sqrt{x} = x^{1/2}$.
Находим их производные:

$u' = (2x + 1)' = 2$
$v' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = 2\sqrt{x} + (2x + 1)\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Приводим к общему знаменателю и упрощаем:

$y' = \frac{2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$.

6) Для функции $y = \sqrt{x} \cos x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \cos x$.
Находим их производные:

$u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cos x + \sqrt{x} (-\sin x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$

Ответ: $\frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x$.

39.4. Найдите производную функции:

1) $y = (x^3 - 2)(x^2 + 1)$;

2) $y = (x + 5)\sqrt{x}$;

3) $y = x^4 \cos x$;

4) $y = x \operatorname{tg} x$.

1) $y = (x^3 - 2)(x^2 + 1)$

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = x^3 - 2$ и $v(x) = x^2 + 1$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом производной произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (x^3 - 2)' = 3x^2$

$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$

Теперь подставим найденные значения в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (3x^2)(x^2 + 1) + (x^3 - 2)(2x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y' = 3x^4 + 3x^2 + 2x^4 - 4x = 5x^4 + 3x^2 - 4x$

Ответ: $5x^4 + 3x^2 - 4x$

2) $y = (x + 5)\sqrt{x}$

Эта функция также является произведением: $u(x) = x + 5$ и $v(x) = \sqrt{x}$. Применим правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (x + 5)' = 1$

$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим в формулу:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{x} + (x + 5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{x + 5}{2\sqrt{x}}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$y' = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{x + 5}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x + 5}{2\sqrt{x}} = \frac{3x + 5}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $\frac{3x + 5}{2\sqrt{x}}$

3) $y = x^4 \cos x$

Функция является произведением $u(x) = x^4$ и $v(x) = \cos x$. Используем правило $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Находим производные:

$u'(x) = (x^4)' = 4x^3$

$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = (4x^3)(\cos x) + (x^4)(-\sin x)$

Упрощаем выражение:

$y' = 4x^3 \cos x - x^4 \sin x$

Ответ: $4x^3 \cos x - x^4 \sin x$

4) $y = x \operatorname{tg} x$

Функция является произведением $u(x) = x$ и $v(x) = \operatorname{tg} x$. Используем правило $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Находим производные:

$u'(x) = (x)' = 1$

$v'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \operatorname{tg} x + x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$

Упрощаем выражение:

$y' = \operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$

Ответ: $\operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$

39.5. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{5}{3x-2}$;

2) $y = \frac{x^3}{\cos x}$;

3) $y = \frac{3-x^2}{4+2x}$;

4) $y = \frac{x^2-5x}{x-7}$.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{5}{3x - 2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u = 5$ и $v = 3x - 2$.

Найдем производные для $u$ и $v$: $u' = (5)' = 0$ и $v' = (3x - 2)' = 3$.

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{0 \cdot (3x - 2) - 5 \cdot 3}{(3x - 2)^2} = \frac{0 - 15}{(3x - 2)^2} = -\frac{15}{(3x - 2)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{15}{(3x - 2)^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^3}{\cos x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = x^3$ и $v = \cos x$.

Найдем их производные: $u' = (x^3)' = 3x^2$ и $v' = (\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x^3)' \cdot \cos x - x^3 \cdot (\cos x)'}{(\cos x)^2} = \frac{3x^2 \cdot \cos x - x^3 \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$.

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{3x^2 \cos x + x^3 \sin x}{\cos^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{3x^2 \cos x + x^3 \sin x}{\cos^2 x}$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{3 - x^2}{4 + 2x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = 3 - x^2$ и $v = 4 + 2x$.

Найдем их производные: $u' = (3 - x^2)' = -2x$ и $v' = (4 + 2x)' = 2$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(-2x) \cdot (4 + 2x) - (3 - x^2) \cdot 2}{(4 + 2x)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$y' = \frac{-8x - 4x^2 - 6 + 2x^2}{(4 + 2x)^2} = \frac{-2x^2 - 8x - 6}{(4 + 2x)^2}$.

Можно упростить выражение, вынеся общие множители:

$y' = \frac{-2(x^2 + 4x + 3)}{(2(x + 2))^2} = \frac{-2(x^2 + 4x + 3)}{4(x + 2)^2} = -\frac{x^2 + 4x + 3}{2(x + 2)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{x^2 + 4x + 3}{2(x + 2)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^2 - 5x}{x - 7}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = x^2 - 5x$ и $v = x - 7$.

Найдем их производные: $u' = (x^2 - 5x)' = 2x - 5$ и $v' = (x - 7)' = 1$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2x - 5) \cdot (x - 7) - (x^2 - 5x) \cdot 1}{(x - 7)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$y' = \frac{(2x^2 - 14x - 5x + 35) - (x^2 - 5x)}{(x - 7)^2} = \frac{2x^2 - 19x + 35 - x^2 + 5x}{(x - 7)^2}$.

$y' = \frac{x^2 - 14x + 35}{(x - 7)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2 - 14x + 35}{(x - 7)^2}$.

39.6. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{3x + 5}{x - 8};$

2) $y = \frac{2x^2}{1 - 6x};$

3) $y = \frac{\sin x}{x};$

4) $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}.$

Для нахождения производной каждой функции используется правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

1) $y = \frac{3x + 5}{x - 8}$

Пусть $u(x) = 3x + 5$ и $v(x) = x - 8$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (3x + 5)' = 3$

$v'(x) = (x - 8)' = 1$

Применяем формулу производной частного:

$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{3(x - 8) - (3x + 5)(1)}{(x - 8)^2}$

Раскрываем скобки и упрощаем числитель:

$y' = \frac{3x - 24 - 3x - 5}{(x - 8)^2} = \frac{-29}{(x - 8)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{29}{(x - 8)^2}$

2) $y = \frac{2x^2}{1 - 6x}$

Пусть $u(x) = 2x^2$ и $v(x) = 1 - 6x$.

Находим производные:

$u'(x) = (2x^2)' = 4x$

$v'(x) = (1 - 6x)' = -6$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{4x(1 - 6x) - 2x^2(-6)}{(1 - 6x)^2}$

Упрощаем числитель:

$y' = \frac{4x - 24x^2 + 12x^2}{(1 - 6x)^2} = \frac{4x - 12x^2}{(1 - 6x)^2}$

Ответ: $y' = \frac{4x - 12x^2}{(1 - 6x)^2}$

3) $y = \frac{\sin x}{x}$

Пусть $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x$.

Находим производные:

$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$

$v'(x) = (x)' = 1$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{(\cos x)(x) - (\sin x)(1)}{x^2}$

Упрощаем выражение:

$y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$

Ответ: $y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$

4) $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$

Пусть $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = x^2 + 1$.

Находим производные:

$u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$

$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

Упрощаем числитель:

$y' = \frac{(2x^3 + 2x) - (2x^3 - 2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$

39.7. Чему равно значение производной функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = \frac{2-3x}{x+2}$, $x_0 = -3;

2) $f(x) = (1+3x)\sqrt{x}$, $x_0 = 9;

3) $f(x) = 3\sqrt[3]{x} - 10\sqrt[5]{x}$, $x_0 = 1;

4) $f(x) = x \sin x$, $x_0 = 0?

1) $f(x) = \frac{2 - 3x}{x + 2}, x_0 = -3$;

Для нахождения производной функции $f(x)$, которая является частным двух функций, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = 2 - 3x$ и $v(x) = x + 2$. Найдем их производные:

$u'(x) = (2 - 3x)' = -3$

$v'(x) = (x + 2)' = 1$

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{-3(x + 2) - (2 - 3x) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{-3x - 6 - 2 + 3x}{(x + 2)^2} = \frac{-8}{(x + 2)^2}$

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = -3$:

$f'(-3) = \frac{-8}{(-3 + 2)^2} = \frac{-8}{(-1)^2} = \frac{-8}{1} = -8$

Ответ: -8

2) $f(x) = (1 + 3x)\sqrt{x}, x_0 = 9$;

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

В данном случае $u(x) = 1 + 3x$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$. Найдем их производные:

$u'(x) = (1 + 3x)' = 3$

$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Применяем правило произведения:

$f'(x) = 3 \cdot \sqrt{x} + (1 + 3x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 3\sqrt{x} + \frac{1 + 3x}{2\sqrt{x}}$

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 9$:

$f'(9) = 3\sqrt{9} + \frac{1 + 3 \cdot 9}{2\sqrt{9}} = 3 \cdot 3 + \frac{1 + 27}{2 \cdot 3} = 9 + \frac{28}{6} = 9 + \frac{14}{3}$

Приведем к общему знаменателю:

$f'(9) = \frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{14}{3} = \frac{27 + 14}{3} = \frac{41}{3}$

Ответ: $\frac{41}{3}$

3) $f(x) = 3\sqrt[3]{x} - 10\sqrt[5]{x}, x_0 = 1$;

Сначала представим функцию в виде степенных функций, чтобы было удобнее дифференцировать:

$f(x) = 3x^{1/3} - 10x^{1/5}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (3x^{1/3})' - (10x^{1/5})' = 3 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} - 10 \cdot \frac{1}{5}x^{1/5 - 1}$

$f'(x) = 1 \cdot x^{-2/3} - 2 \cdot x^{-4/5} = \frac{1}{x^{2/3}} - \frac{2}{x^{4/5}}$

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{1}{1^{2/3}} - \frac{2}{1^{4/5}} = \frac{1}{1} - \frac{2}{1} = 1 - 2 = -1$

Ответ: -1

4) $f(x) = x \sin x, x_0 = 0$

Для нахождения производной функции $f(x)$ используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = \sin x$. Их производные:

$u'(x) = (x)' = 1$

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = \sin(0) + 0 \cdot \cos(0)$

Зная, что $\sin(0) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$f'(0) = 0 + 0 \cdot 1 = 0$

Ответ: 0

39.8. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{x} - 16x, x_0 = \frac{1}{4}$;

2) $f(x) = \frac{\cos x}{1 - x}, x_0 = 0$;

3) $f(x) = x^{-2} - 4x^{-3}, x_0 = 2$;

4) $f(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x + 1}, x_0 = 1$.

Дана функция $f(x) = \sqrt{x} - 16x$ и точка $x_0 = \frac{1}{4}$.

Чтобы вычислить значение производной в точке, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования: производная разности функций равна разности производных, и правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (\sqrt{x} - 16x)' = (x^{1/2})' - (16x)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - 16 \cdot 1 = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 16 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 16$.

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{1}{4}$ в найденное выражение для производной:

$f'(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} - 16 = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} - 16 = \frac{1}{1} - 16 = -15$.

Ответ: -15

Дана функция $f(x) = \frac{\cos x}{1 - x}$ и точка $x_0 = 0$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u(x) = \cos x$ и $v(x) = 1 - x$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

$v'(x) = (1 - x)' = -1$

Подставляем эти выражения в формулу для производной частного:

$f'(x) = \frac{(-\sin x)(1 - x) - (\cos x)(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{-\sin x + x\sin x + \cos x}{(1 - x)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = \frac{-\sin 0 + 0 \cdot \sin 0 + \cos 0}{(1 - 0)^2} = \frac{-0 + 0 + 1}{1^2} = 1$.

Ответ: 1

Дана функция $f(x) = x^{-2} - 4x^{-3}$ и точка $x_0 = 2$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:

$f'(x) = (x^{-2} - 4x^{-3})' = (x^{-2})' - (4x^{-3})' = -2x^{-2-1} - 4(-3)x^{-3-1} = -2x^{-3} + 12x^{-4}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = -2(2)^{-3} + 12(2)^{-4} = -\frac{2}{2^3} + \frac{12}{2^4} = -\frac{2}{8} + \frac{12}{16} = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Дана функция $f(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x + 1}$ и точка $x_0 = 1$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Здесь $u(x) = 2x^2 - 3x - 1$ и $v(x) = x + 1$.

Находим производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (2x^2 - 3x - 1)' = 4x - 3$

$v'(x) = (x + 1)' = 1$

Подставляем в формулу и упрощаем:

$f'(x) = \frac{(4x - 3)(x + 1) - (2x^2 - 3x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4x - 3x - 3 - 2x^2 + 3x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x - 2}{(x + 1)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{2(1)^2 + 4(1) - 2}{(1 + 1)^2} = \frac{2 + 4 - 2}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: 1