Страница 295 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.23. Докажите, пользуясь определением, что функция $f(x) = \begin{cases} 1-x^2, \text{ если } x < 0, \\ 1, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$ является дифференцируемой в точке $x_0 = 0$.

Проиллюстрируйте полученный результат графически.

Докажите, пользуясь определением, что функция $f(x) = \begin{cases} 1 - x^2, & \text{если } x < 0, \\ 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$ является дифференцируемой в точке $x_0 = 0$.

По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ вычисляется как предел:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке $x_0 = 0$, этот предел должен существовать и быть конечным. Поскольку функция задана по-разному для $x < 0$ и $x \ge 0$, нам необходимо найти односторонние пределы (левую и правую производные) и проверить, равны ли они.

Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$. Согласно условию, при $x \ge 0$ функция $f(x) = 1$, следовательно, $f(0) = 1$.

1. Левая производная в точке $x_0 = 0$:

Вычисляем предел при $\Delta x \to 0^-$ (то есть $\Delta x$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным). В этом случае $x_0 + \Delta x = 0 + \Delta x = \Delta x < 0$. Для таких значений аргумента $f(\Delta x) = 1 - (\Delta x)^2$.

$f'_{-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(1 - (\Delta x)^2) - 1}{\Delta x}$

Упростим выражение под знаком предела:

$f'_{-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-(\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (-\Delta x) = 0$

2. Правая производная в точке $x_0 = 0$:

Вычисляем предел при $\Delta x \to 0^+$ (то есть $\Delta x$ стремится к нулю, оставаясь положительным). В этом случае $x_0 + \Delta x = 0 + \Delta x = \Delta x > 0$. Для таких значений аргумента $f(\Delta x) = 1$.

$f'_{+}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{1 - 1}{\Delta x}$

Упростим выражение под знаком предела:

$f'_{+}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} 0 = 0$

Поскольку левая и правая производные в точке $x_0 = 0$ существуют и равны друг другу ($f'_{-}(0) = f'_{+}(0) = 0$), то производная функции в этой точке существует и равна этому значению: $f'(0) = 0$. Следовательно, функция $f(x)$ является дифференцируемой в точке $x_0 = 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Функция дифференцируема в точке $x_0 = 0$, и ее производная $f'(0) = 0$.

Проиллюстрируйте полученный результат графически.

График функции $f(x)$ состоит из двух частей:

1. Для $x < 0$ график представляет собой ветвь параболы $y = 1 - x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вниз. Мы рассматриваем только левую ветвь этой параболы.

2. Для $x \ge 0$ график представляет собой горизонтальный луч $y = 1$, начинающийся в точке $(0, 1)$ и идущий вправо.

В точке $x_0 = 0$ левая ветвь параболы плавно соединяется с горизонтальным лучом в точке $(0, 1)$. "Плавность" соединения означает, что у графика в этой точке существует единственная касательная. Так как мы доказали, что $f'(0) = 0$, касательная к графику функции в точке $(0, 1)$ является горизонтальной. Ее уравнение $y = 1$. Это совпадает с правой частью графика, что и обеспечивает отсутствие "излома".

Ответ: График функции, состоящий из ветви параболы для $x<0$ и горизонтального луча для $x \ge 0$, имеет в точке $(0, 1)$ плавное соединение без излома, что соответствует существованию единственной горизонтальной касательной, и, следовательно, дифференцируемости функции в этой точке.

38.24. Найдите производную функции $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2, & \text{если } x \le 2 \\ 4x - 6, & \text{если } x > 2 \end{cases}$ в точке $x_0 = 2$.

Чтобы найти производную функции $f(x)$ в точке $x_0 = 2$, необходимо проверить, является ли функция дифференцируемой в этой точке. Функция дифференцируема в точке, если она в этой точке непрерывна, а также если её левосторонняя и правосторонняя производные в этой точке существуют и равны.

1. Проверка на непрерывность в точке $x_0 = 2$

Функция непрерывна в точке, если предел функции в этой точке равен её значению в этой точке. Проверим равенство односторонних пределов и значения функции.

Значение функции в точке $x_0 = 2$ (согласно условию $x \le 2$):

$f(2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

Левосторонний предел (при $x \to 2^-$, т.е. $x < 2$):

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 2) = 2^2 - 2 = 2$.

Правосторонний предел (при $x \to 2^+$, т.е. $x > 2$):

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (4x - 6) = 4 \cdot 2 - 6 = 8 - 6 = 2$.

Поскольку $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 2$, функция непрерывна в точке $x_0 = 2$.

2. Вычисление односторонних производных в точке $x_0 = 2$

Теперь найдем левостороннюю и правостороннюю производные в точке $x_0 = 2$.

Левосторонняя производная $f'_-(2)$ — это производная функции $y = x^2 - 2$ в точке $x = 2$:

$f'_-(x) = (x^2 - 2)' = 2x$.

$f'_-(2) = 2 \cdot 2 = 4$.

Правосторонняя производная $f'_+(2)$ — это производная функции $y = 4x - 6$ в точке $x = 2$:

$f'_+(x) = (4x - 6)' = 4$.

$f'_+(2) = 4$.

3. Сравнение односторонних производных

Так как левосторонняя производная $f'_-(2) = 4$ и правосторонняя производная $f'_+(2) = 4$ равны, то производная функции $f(x)$ в точке $x_0 = 2$ существует и равна их общему значению.

$f'(2) = 4$.

Ответ: $4$.

38.25. Докажите, пользуясь определением, что функция $f(x) = x|x|$ является дифференцируемой в точке $x_0 = 0$. Проиллюстрируйте полученный результат графически.

По определению, функция $f(x)$ является дифференцируемой в точке $x_0$, если существует конечный предел отношения приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда $\Delta x \to 0$. Этот предел называется производной функции в точке $x_0$ и обозначается $f'(x_0)$.

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Применим это определение для функции $f(x) = x|x|$ в точке $x_0 = 0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(0) = 0 \cdot |0| = 0$.

2. Найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0 = 0$ при приращении аргумента $\Delta x$:
$\Delta f = f(0 + \Delta x) - f(0) = f(\Delta x) - 0 = \Delta x |\Delta x|$.

3. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x |\Delta x|}{\Delta x}$.

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:
$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x |\Delta x|}{\Delta x}$.

Поскольку в определении предела $\Delta x$ стремится к нулю, но не равно ему, мы можем сократить дробь на $\Delta x$:

$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x| = 0$.

Так как предел существует и является конечным числом (равен 0), то функция $f(x) = x|x|$ дифференцируема в точке $x_0 = 0$. Что и требовалось доказать.

Графическая иллюстрация

Для построения графика представим функцию $f(x) = x|x|$ в кусочно-заданном виде, раскрыв модуль:

$f(x) = \begin{cases} x \cdot x = x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ x \cdot (-x) = -x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График функции состоит из двух ветвей парабол. Для $x \ge 0$ это часть стандартной параболы $y = x^2$, а для $x < 0$ — часть параболы $y = -x^2$, симметричной первой относительно начала координат. В точке $(0, 0)$ эти две ветви плавно соединяются без излома.

Значение производной $f'(0) = 0$ — это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 0$. Уравнение касательной: $y = f(0) + f'(0)(x-0)$, что дает $y = 0 + 0 \cdot x$, то есть $y=0$. Таким образом, касательной к графику в начале координат является сама ось абсцисс (ось Ox).

Горизонтальное положение касательной и отсутствие "острого угла" на графике в точке $(0,0)$ наглядно демонстрируют, что функция дифференцируема в этой точке.

Ответ: производная функции $f(x)=x|x|$ в точке $x_0=0$ существует и равна 0, то есть $f'(0)=0$.

38.26. Найдите производную функции $f(x) = x^2 |x|$ в точке $x_0 = 0$.

Для нахождения производной функции $f(x) = x^2|x|$ в точке $x_0 = 0$ воспользуемся определением производной в точке:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

В нашем случае $x_0 = 0$. Значение функции в этой точке равно $f(0) = 0^2|0| = 0$.

Подставим эти значения в определение производной:

$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x) - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^2|\Delta x|}{\Delta x}$

Сократим выражение в числителе и знаменателе на $\Delta x$ (поскольку в определении предела $\Delta x \neq 0$):

$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x|\Delta x|)$

При стремлении $\Delta x$ к нулю, произведение $\Delta x|\Delta x|$ также стремится к нулю. Следовательно, предел равен 0:

$\lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x|\Delta x|) = 0 \cdot |0| = 0$

Таким образом, производная функции $f(x) = x^2|x|$ в точке $x_0 = 0$ существует и равна 0.

Ответ: 0.