Страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.5. Продифференцируйте функцию:

1) $y = \sqrt[9]{x};$

2) $y = \sqrt[6]{x^5};$

3) $y = \frac{1}{\sqrt[12]{x^7}}.$

1) $y = \sqrt[9]{x}$

Чтобы найти производную, сначала представим функцию в виде степени:

$y = \sqrt[9]{x} = x^{\frac{1}{9}}$

Далее используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n = \frac{1}{9}$:

$y' = (x^{\frac{1}{9}})' = \frac{1}{9} \cdot x^{\frac{1}{9} - 1} = \frac{1}{9} \cdot x^{\frac{1}{9} - \frac{9}{9}} = \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}}$

Результат можно также представить в виде корня:

$y' = \frac{1}{9x^{\frac{8}{9}}} = \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}}$.

2) $y = \sqrt[6]{x^5}$

Представим функцию в виде степени:

$y = \sqrt[6]{x^5} = x^{\frac{5}{6}}$

Применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n = \frac{5}{6}$:

$y' = (x^{\frac{5}{6}})' = \frac{5}{6} \cdot x^{\frac{5}{6} - 1} = \frac{5}{6} \cdot x^{\frac{5}{6} - \frac{6}{6}} = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$

Запишем ответ в виде корня:

$y' = \frac{5}{6x^{\frac{1}{6}}} = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}}$

Ответ: $y' = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$.

3) $y = \frac{1}{\sqrt[12]{x^7}}$

Сначала преобразуем функцию, записав ее в виде степени с отрицательным показателем:

$y = \frac{1}{\sqrt[12]{x^7}} = \frac{1}{x^{\frac{7}{12}}} = x^{-\frac{7}{12}}$

Теперь найдем производную по формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n = -\frac{7}{12}$:

$y' = (x^{-\frac{7}{12}})' = -\frac{7}{12} \cdot x^{-\frac{7}{12} - 1} = -\frac{7}{12} \cdot x^{-\frac{7}{12} - \frac{12}{12}} = -\frac{7}{12}x^{-\frac{19}{12}}$

Результат можно представить в виде дроби с корнем в знаменателе:

$y' = -\frac{7}{12x^{\frac{19}{12}}} = -\frac{7}{12\sqrt[12]{x^{19}}}$

Ответ: $y' = -\frac{7}{12}x^{-\frac{19}{12}}$.

38.6. Вычислите значение производной функции f в точке x₀:

1) $f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

2) $f(x) = \cos x, x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

1)

Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Чтобы вычислить значение производной функции в точке, необходимо сначала найти производную функции, а затем подставить в нее значение точки $x_0$.
1. Находим производную функции $f(x) = \sin x$.
По таблице производных, производная от синуса равна косинусу:
$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем значение $x_0$ в найденное выражение для производной:
$f'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ является табличным значением:
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2)

Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.
Действуем по тому же алгоритму.
1. Находим производную функции $f(x) = \cos x$.
По таблице производных, производная от косинуса равна минус синусу:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем значение $x_0$ в выражение для производной:
$f'(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(-\frac{\pi}{6})$.
Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-a) = -\sin(a)$.
$-\sin(-\frac{\pi}{6}) = -(-\sin(\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{6})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ является табличным значением:
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

38.7. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

2) $f(x) = \cos x, x_0 = -\frac{\pi}{4}$.

1) Для функции $f(x) = \sin x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Сначала находим производную функции $f(x)$. Производная функции синус является стандартной и равна косинусу:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Далее, чтобы найти значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$, подставляем это значение в полученное выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6})$.

Значение $\cos(\frac{\pi}{6})$ является табличным значением тригонометрической функции:

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Для функции $f(x) = \cos x$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{4}$.

Сначала находим производную функции $f(x)$. Производная функции косинус равна минус синусу:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{4}$, подставив это значение в выражение для производной:

$f'(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(-\frac{\pi}{4})$.

Используем свойство нечетности функции синус, согласно которому $\sin(-a) = -\sin(a)$:

$-\sin(-\frac{\pi}{4}) = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение $\sin(\frac{\pi}{4})$ является табличным значением:

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

38.8. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x\sqrt{x}$, $x_0 = 81;$

2) $f(x) = \sqrt{x\sqrt{x}}$, $x_0 = 16;$

3) $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt[6]{x}}$, $x_0 = 64.$

1) f(x) = x√x, x₀ = 81;

Для того чтобы найти производную, сначала упростим функцию $f(x)$, представив корень как степень:
$f(x) = x \cdot \sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.
Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.
Наконец, вычислим значение производной в точке $x_0 = 81$:
$f'(81) = \frac{3}{2}\sqrt{81} = \frac{3}{2} \cdot 9 = \frac{27}{2} = 13.5$.

Ответ: $13.5$.

2) f(x) = √x√x, x₀ = 16;

Упростим данную функцию. Запись $\sqrt{x\sqrt{x}}$ означает вложенный корень:
$f(x) = \sqrt{x\sqrt{x}} = \sqrt{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/2} = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = x^{3/4}$.
Найдем производную функции $f(x)$ по формуле производной степенной функции:
$f'(x) = (x^{3/4})' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-1/4} = \frac{3}{4x^{1/4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 16$:
$f'(16) = \frac{3}{4\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$.

3) f(x) = $\frac{x^2}{\sqrt[6]{x}}$, x₀ = 64.

Преобразуем функцию, используя свойства степеней:
$f(x) = \frac{x^2}{\sqrt[6]{x}} = \frac{x^2}{x^{1/6}} = x^{2 - 1/6} = x^{\frac{12}{6} - \frac{1}{6}} = x^{11/6}$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^{11/6})' = \frac{11}{6}x^{\frac{11}{6}-1} = \frac{11}{6}x^{5/6} = \frac{11}{6}\sqrt[6]{x^5}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 64$:
$f'(64) = \frac{11}{6}\sqrt[6]{64^5} = \frac{11}{6}(\sqrt[6]{64})^5$.
Так как $64 = 2^6$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.
$f'(64) = \frac{11}{6} \cdot (2)^5 = \frac{11}{6} \cdot 32 = \frac{11 \cdot 16}{3} = \frac{176}{3}$.

Ответ: $\frac{176}{3}$.

38.9. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x \sqrt[4]{x}$, $x_0 = 256$;

2) $f(x) = \sqrt[8]{x \sqrt{x}}$, $x_0 = 1$.

1) Сначала преобразуем функцию $f(x) = x \sqrt[4]{x}$, чтобы было удобнее применять правило дифференцирования. Используя свойство степеней, запишем корень как степень: $\sqrt[4]{x} = x^{1/4}$.

Тогда функция примет вид:

$f(x) = x^1 \cdot x^{1/4} = x^{1 + 1/4} = x^{5/4}$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$ по формуле производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{5/4})' = \frac{5}{4} x^{5/4 - 1} = \frac{5}{4} x^{1/4}$.

Производную можно также записать в виде $f'(x) = \frac{5}{4} \sqrt[4]{x}$.

На последнем шаге вычислим значение производной в точке $x_0 = 256$:

$f'(256) = \frac{5}{4} \cdot (256)^{1/4} = \frac{5}{4} \sqrt[4]{256}$.

Так как $256 = 4^4$, то $\sqrt[4]{256} = 4$.

Подставляем это значение:

$f'(256) = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5$.

Ответ: $5$.

2) Сначала преобразуем функцию $f(x) = \sqrt[8]{x\sqrt{x}}$ к степенному виду. Начнем с выражения под корнем:

$x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.

Теперь подставим это обратно в функцию:

$f(x) = \sqrt[8]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/8}$.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$f(x) = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8}} = x^{3/16}$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$ по формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{3/16})' = \frac{3}{16} x^{3/16 - 1} = \frac{3}{16} x^{-13/16}$.

На последнем шаге вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{3}{16} \cdot (1)^{-13/16}$.

Так как число 1 в любой степени равно 1, то $(1)^{-13/16} = 1$.

Следовательно:

$f'(1) = \frac{3}{16} \cdot 1 = \frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$.

38.10. Пользуясь определением производной, найдите $f'(x)$, если:

1) $f(x)=\frac{3}{x}$;

2) $f(x)=4-x^2$.

1) Определение производной функции $f(x)$ имеет вид:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Для функции $f(x) = \frac{3}{x}$ найдем $f(x + \Delta x) = \frac{3}{x + \Delta x}$.

Подставим выражения для $f(x)$ и $f(x + \Delta x)$ в определение производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{3}{x + \Delta x} - \frac{3}{x}}{\Delta x}$

Чтобы упростить числитель, приведем дроби к общему знаменателю $x(x + \Delta x)$:

$\frac{3}{x + \Delta x} - \frac{3}{x} = \frac{3x - 3(x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{3x - 3x - 3\Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-3\Delta x}{x(x + \Delta x)}$

Теперь подставим это выражение обратно в формулу предела:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-3\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3\Delta x}{\Delta x \cdot x(x + \Delta x)}$

Сократим дробь на $\Delta x$ (так как $\Delta x \to 0$, но $\Delta x \neq 0$):

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3}{x(x + \Delta x)}$

Теперь мы можем найти предел, подставив $\Delta x = 0$ в оставшееся выражение:

$f'(x) = \frac{-3}{x(x + 0)} = \frac{-3}{x^2}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{x^2}$.

2) Для функции $f(x) = 4 - x^2$ используем то же определение производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Найдем $f(x + \Delta x) = 4 - (x + \Delta x)^2$.

Подставим выражения в определение:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(4 - (x + \Delta x)^2) - (4 - x^2)}{\Delta x}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$4 - (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - 4 + x^2 = 4 - x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2 - 4 + x^2 = -2x\Delta x - (\Delta x)^2$

Подставим упрощенный числитель обратно в предел:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2x\Delta x - (\Delta x)^2}{\Delta x}$

Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(-2x - \Delta x)}{\Delta x}$

Сократим дробь на $\Delta x$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (-2x - \Delta x)$

Найдем предел, подставив $\Delta x = 0$:

$f'(x) = -2x - 0 = -2x$

Ответ: $f'(x) = -2x$.

38.11. Пользуясь определением производной, найдите $f'(x)$, если:

1) $f(x) = -\frac{1}{x^2}$;

2) $f(x) = x^2 + 3x - 2$.

Пользуясь определением производной, найдем $f'(x)$. Определение производной функции $f(x)$ в точке $x$ имеет вид:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

1) Для функции $f(x) = -\frac{1}{x^2}$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = -\frac{1}{(x + \Delta x)^2}$

2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = -\frac{1}{(x + \Delta x)^2} - (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x + \Delta x)^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2(x + \Delta x)^2$:

$\Delta f = \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2}{x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{x^2(x + \Delta x)^2}$

3. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x \cdot x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x \cdot x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{2x + \Delta x}{x^2(x + \Delta x)^2}$

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x + \Delta x}{x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{2x + 0}{x^2(x + 0)^2} = \frac{2x}{x^2 \cdot x^2} = \frac{2x}{x^4} = \frac{2}{x^3}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{x^3}$.

2) Для функции $f(x) = x^2 + 3x - 2$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 3(x + \Delta x) - 2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2$

2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2) - (x^2 + 3x - 2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\Delta f = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2 - x^2 - 3x + 2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x$

3. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x + 3)}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 3$

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 3) = 2x + 0 + 3 = 2x + 3$

Ответ: $f'(x) = 2x + 3$.

38.12. Найдите с помощью графика функции $f$ (рис. 38.7) значения $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$.

а) При $x_1$ угол касательной $45^\circ$. $f'(x_1) = \tan(45^\circ)$.

При $x_2$ угол касательной $30^\circ$. $f'(x_2) = \tan(30^\circ)$.

б) При $x_1$ угол касательной $120^\circ$. $f'(x_1) = \tan(120^\circ)$.

При $x_2$ касательная горизонтальна (угол $0^\circ$). $f'(x_2) = \tan(0^\circ)$.

Рис. 38.7

Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ заключается в том, что её значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в этой точке. Угол наклона $\alpha$ — это угол, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс $Ox$. Таким образом, $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

а

1. Найдём значение $f'(x_1)$.
Касательная к графику функции в точке с абсциссой $x_1$ образует с положительным направлением оси $Ox$ угол, равный $45^\circ$. Следовательно, $f'(x_1)$ равно тангенсу этого угла:
$f'(x_1) = \tan(45^\circ) = 1$.

2. Найдём значение $f'(x_2)$.
Касательная к графику функции в точке с абсциссой $x_2$ образует с положительным направлением оси $Ox$ угол, равный $30^\circ$. Следовательно, $f'(x_2)$ равно тангенсу этого угла:
$f'(x_2) = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $f'(x_1) = 1$; $f'(x_2) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

б

1. Найдём значение $f'(x_1)$.
Касательная к графику функции в точке с абсциссой $x_1$ образует с положительным направлением оси $Ox$ угол, равный $120^\circ$. Следовательно, $f'(x_1)$ равно тангенсу этого угла:
$f'(x_1) = \tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$.

2. Найдём значение $f'(x_2)$.
Касательная к графику функции в точке с абсциссой $x_2$ параллельна оси $Ox$ (горизонтальна). Угол наклона такой прямой к оси $Ox$ равен $0^\circ$. Эта точка является точкой локального минимума функции, где производная равна нулю. Следовательно, $f'(x_2)$ равно тангенсу этого угла:
$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = -\sqrt{3}$; $f'(x_2) = 0$.

38.13. Найдите с помощью графика функции $f$ (рис. 38.8) значения $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$.

а

$y$, $x$, $x_1$, $0$, $x_2$, $60^\circ$

б

$y$, $x$, $0$, $x_1$, $x_2$, $150^\circ$

Рис. 38.8

Значение производной функции в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной в этой точке. Угол наклона — это угол, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс.

Таким образом, $f'(x_0) = \tan \alpha$, где $\alpha$ — угол наклона касательной в точке с абсциссой $x_0$.

а)

Для точки $x_1$: на графике видно, что касательная в этой точке горизонтальна. Это означает, что угол наклона касательной к оси $x$ равен $0^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке: $f'(x_1) = \tan(0^\circ) = 0$.

Для точки $x_2$: касательная в этой точке образует с положительным направлением оси $x$ угол, равный $60^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке: $f'(x_2) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Ответ: $f'(x_1) = 0$, $f'(x_2) = \sqrt{3}$.

б)

Для точки $x_1$: касательная в этой точке образует с положительным направлением оси $x$ угол, равный $150^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке: $f'(x_1) = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для точки $x_2$: на графике видно, что касательная в этой точке горизонтальна. Это означает, что угол наклона касательной к оси $x$ равен $0^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке: $f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $f'(x_2) = 0$.

38.14. На рисунке 38.9 изображён график функции $f$. Укажите несколько значений аргумента $x$, для которых:

1) $f'(x) > 0$;

2) $f'(x) < 0$;

3) $f'(x) = 0$.

Рис. 38.9

Геометрический смысл производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ заключается в том, что ее значение равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции $f(x)$ в этой точке. Таким образом, мы можем определить знак производной по поведению графика функции:

• Если функция возрастает, то касательная направлена вверх, и производная $f'(x) > 0$.
• Если функция убывает, то касательная направлена вниз, и производная $f'(x) < 0$.
• В точках локальных максимумов и минимумов (вершинах и впадинах) касательная горизонтальна, и производная $f'(x) = 0$.

Рассмотрим график и определим значения $x$ для каждого случая.

1) $f'(x) > 0$
Производная положительна на интервалах, где функция $f(x)$ возрастает. Из графика видно, что функция возрастает на интервалах $(-3, -1)$ и $(1, 3)$.
Возьмем несколько значений $x$ из этих интервалов. Например, $x = -2$ или $x = 2$. В этих точках график функции идёт вверх.
Ответ: например, $x = -2$, $x = 2,5$.

2) $f'(x) < 0$
Производная отрицательна на интервалах, где функция $f(x)$ убывает. Из графика видно, что функция убывает на интервалах левее $x=-3$, между $x=-1$ и $x=1$, и правее $x=3$. То есть, на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-1, 1)$ и $(3, \infty)$.
Возьмем несколько значений $x$ из этих интервалов. Например, $x = -4$, $x = 0$ или $x = 4$. В этих точках график функции идёт вниз.
Ответ: например, $x = -4$, $x = 0$, $x = 4$.

3) $f'(x) = 0$
Производная равна нулю в точках экстремума функции (локальных максимумов и минимумов), где касательная к графику горизонтальна.
На графике это точки, соответствующие "вершинам" и "впадинам". Мы видим их при $x = -3$ (минимум), $x = -1$ (максимум), $x = 1$ (минимум) и $x = 3$ (максимум).
Ответ: $x = -3$, $x = -1$, $x = 1$, $x = 3$.

38.15. К графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ проведена касательная (рис. 38.10). Найдите $f'(x_0)$.

Рис. 38.10

По определению, значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой $x_0$. Таким образом, чтобы найти $f'(x_0)$, нам нужно найти угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой, изображенной на рисунке.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Для нахождения коэффициента $k$ выберем на касательной две точки, координаты которых легко определить по сетке. Возьмем, например, точку касания A, у которой координаты $(3, 3)$, и точку B, в которой касательная пересекает ось абсцисс, с координатами $(1, 0)$.

Теперь подставим координаты этих точек в формулу углового коэффициента:

$f'(x_0) = k = \frac{3 - 0}{3 - 1} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1.5

38.16. К графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ проведена касательная (рис. 38.11). Найдите $f'(x_0)$.

Рис. 38.11

Значение производной функции $f$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Чтобы найти значение $f'(x_0)$, найдем угловой коэффициент касательной. Для этого выберем на графике касательной две точки с целочисленными координатами. Например, точка касания имеет координаты $(2, 3)$, а другая точка на касательной имеет координаты $(3, 1)$.

Пусть $(x_1, y_1) = (2, 3)$ и $(x_2, y_2) = (3, 1)$.

Подставим координаты этих точек в формулу для углового коэффициента:

$f'(x_0) = k = \frac{1 - 3}{3 - 2} = \frac{-2}{1} = -2$.

Ответ: -2.

38.17. На рисунке 38.12 изображён график функции $f$. Укажите точки, в которых производная равна нулю, и точки, в которых производная не существует.

Рис. 38.12

Точки, в которых производная равна нулю

Геометрический смысл производной функции в точке — это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная равна нулю ($f'(x) = 0$), когда касательная к графику горизонтальна (параллельна оси $Ox$). Это происходит в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов), где график является гладкой кривой.

На представленном графике можно выделить две такие точки:

• Точка локального максимума при $x = -3$. В этой точке вершина кривой, и касательная к ней будет горизонтальна.
• Точка локального минимума при $x = 2$. В этой точке впадина на кривой, и касательная также будет горизонтальна.

Ответ: -3; 2.

Точки, в которых производная не существует

Производная функции в точке не существует, если в этой точке невозможно однозначно провести касательную. На графике это проявляется в виде "изломов" (острых углов, пиков), точек разрыва или точек с вертикальной касательной.

На данном графике в точке $x = 4$ мы видим "излом" — острую вершину. График в этой точке резко меняет свое направление. Пределы, определяющие производную слева и справа от этой точки, не равны друг другу (касательные с разных сторон имеют разный наклон). Следовательно, в точке $x = 4$ функция не является дифференцируемой, и производная в ней не существует.

Ответ: 4.