Номер 38.8, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.8. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x\sqrt{x}$, $x_0 = 81;$

2) $f(x) = \sqrt{x\sqrt{x}}$, $x_0 = 16;$

3) $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt[6]{x}}$, $x_0 = 64.$

1) f(x) = x√x, x₀ = 81;

Для того чтобы найти производную, сначала упростим функцию $f(x)$, представив корень как степень:
$f(x) = x \cdot \sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.
Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.
Наконец, вычислим значение производной в точке $x_0 = 81$:
$f'(81) = \frac{3}{2}\sqrt{81} = \frac{3}{2} \cdot 9 = \frac{27}{2} = 13.5$.

Ответ: $13.5$.

2) f(x) = √x√x, x₀ = 16;

Упростим данную функцию. Запись $\sqrt{x\sqrt{x}}$ означает вложенный корень:
$f(x) = \sqrt{x\sqrt{x}} = \sqrt{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/2} = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = x^{3/4}$.
Найдем производную функции $f(x)$ по формуле производной степенной функции:
$f'(x) = (x^{3/4})' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-1/4} = \frac{3}{4x^{1/4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 16$:
$f'(16) = \frac{3}{4\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$.

3) f(x) = $\frac{x^2}{\sqrt[6]{x}}$, x₀ = 64.

Преобразуем функцию, используя свойства степеней:
$f(x) = \frac{x^2}{\sqrt[6]{x}} = \frac{x^2}{x^{1/6}} = x^{2 - 1/6} = x^{\frac{12}{6} - \frac{1}{6}} = x^{11/6}$.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^{11/6})' = \frac{11}{6}x^{\frac{11}{6}-1} = \frac{11}{6}x^{5/6} = \frac{11}{6}\sqrt[6]{x^5}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 64$:
$f'(64) = \frac{11}{6}\sqrt[6]{64^5} = \frac{11}{6}(\sqrt[6]{64})^5$.
Так как $64 = 2^6$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.
$f'(64) = \frac{11}{6} \cdot (2)^5 = \frac{11}{6} \cdot 32 = \frac{11 \cdot 16}{3} = \frac{176}{3}$.

Ответ: $\frac{176}{3}$.