Номер 38.12, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.12. Найдите с помощью графика функции $f$ (рис. 38.7) значения $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$.

а) При $x_1$ угол касательной $45^\circ$. $f'(x_1) = \tan(45^\circ)$.

При $x_2$ угол касательной $30^\circ$. $f'(x_2) = \tan(30^\circ)$.

б) При $x_1$ угол касательной $120^\circ$. $f'(x_1) = \tan(120^\circ)$.

При $x_2$ касательная горизонтальна (угол $0^\circ$). $f'(x_2) = \tan(0^\circ)$.

Рис. 38.7

Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ заключается в том, что её значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в этой точке. Угол наклона $\alpha$ — это угол, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс $Ox$. Таким образом, $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

а

1. Найдём значение $f'(x_1)$.
Касательная к графику функции в точке с абсциссой $x_1$ образует с положительным направлением оси $Ox$ угол, равный $45^\circ$. Следовательно, $f'(x_1)$ равно тангенсу этого угла:
$f'(x_1) = \tan(45^\circ) = 1$.

2. Найдём значение $f'(x_2)$.
Касательная к графику функции в точке с абсциссой $x_2$ образует с положительным направлением оси $Ox$ угол, равный $30^\circ$. Следовательно, $f'(x_2)$ равно тангенсу этого угла:
$f'(x_2) = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $f'(x_1) = 1$; $f'(x_2) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

б

1. Найдём значение $f'(x_1)$.
Касательная к графику функции в точке с абсциссой $x_1$ образует с положительным направлением оси $Ox$ угол, равный $120^\circ$. Следовательно, $f'(x_1)$ равно тангенсу этого угла:
$f'(x_1) = \tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$.

2. Найдём значение $f'(x_2)$.
Касательная к графику функции в точке с абсциссой $x_2$ параллельна оси $Ox$ (горизонтальна). Угол наклона такой прямой к оси $Ox$ равен $0^\circ$. Эта точка является точкой локального минимума функции, где производная равна нулю. Следовательно, $f'(x_2)$ равно тангенсу этого угла:
$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = -\sqrt{3}$; $f'(x_2) = 0$.