Номер 38.10, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.10. Пользуясь определением производной, найдите $f'(x)$, если:

1) $f(x)=\frac{3}{x}$;

2) $f(x)=4-x^2$.

1) Определение производной функции $f(x)$ имеет вид:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Для функции $f(x) = \frac{3}{x}$ найдем $f(x + \Delta x) = \frac{3}{x + \Delta x}$.

Подставим выражения для $f(x)$ и $f(x + \Delta x)$ в определение производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{3}{x + \Delta x} - \frac{3}{x}}{\Delta x}$

Чтобы упростить числитель, приведем дроби к общему знаменателю $x(x + \Delta x)$:

$\frac{3}{x + \Delta x} - \frac{3}{x} = \frac{3x - 3(x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{3x - 3x - 3\Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-3\Delta x}{x(x + \Delta x)}$

Теперь подставим это выражение обратно в формулу предела:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-3\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3\Delta x}{\Delta x \cdot x(x + \Delta x)}$

Сократим дробь на $\Delta x$ (так как $\Delta x \to 0$, но $\Delta x \neq 0$):

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3}{x(x + \Delta x)}$

Теперь мы можем найти предел, подставив $\Delta x = 0$ в оставшееся выражение:

$f'(x) = \frac{-3}{x(x + 0)} = \frac{-3}{x^2}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{x^2}$.

2) Для функции $f(x) = 4 - x^2$ используем то же определение производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Найдем $f(x + \Delta x) = 4 - (x + \Delta x)^2$.

Подставим выражения в определение:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(4 - (x + \Delta x)^2) - (4 - x^2)}{\Delta x}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$4 - (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - 4 + x^2 = 4 - x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2 - 4 + x^2 = -2x\Delta x - (\Delta x)^2$

Подставим упрощенный числитель обратно в предел:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2x\Delta x - (\Delta x)^2}{\Delta x}$

Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(-2x - \Delta x)}{\Delta x}$

Сократим дробь на $\Delta x$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (-2x - \Delta x)$

Найдем предел, подставив $\Delta x = 0$:

$f'(x) = -2x - 0 = -2x$

Ответ: $f'(x) = -2x$.