Номер 38.11, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.11. Пользуясь определением производной, найдите $f'(x)$, если:

1) $f(x) = -\frac{1}{x^2}$;

2) $f(x) = x^2 + 3x - 2$.

Пользуясь определением производной, найдем $f'(x)$. Определение производной функции $f(x)$ в точке $x$ имеет вид:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

1) Для функции $f(x) = -\frac{1}{x^2}$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = -\frac{1}{(x + \Delta x)^2}$

2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = -\frac{1}{(x + \Delta x)^2} - (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x + \Delta x)^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2(x + \Delta x)^2$:

$\Delta f = \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2}{x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{x^2(x + \Delta x)^2}$

3. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x \cdot x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x \cdot x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{2x + \Delta x}{x^2(x + \Delta x)^2}$

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x + \Delta x}{x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{2x + 0}{x^2(x + 0)^2} = \frac{2x}{x^2 \cdot x^2} = \frac{2x}{x^4} = \frac{2}{x^3}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{x^3}$.

2) Для функции $f(x) = x^2 + 3x - 2$

1. Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 3(x + \Delta x) - 2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2$

2. Найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2) - (x^2 + 3x - 2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\Delta f = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2 - x^2 - 3x + 2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x$

3. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x + 3)}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 3$

4. Найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 3) = 2x + 0 + 3 = 2x + 3$

Ответ: $f'(x) = 2x + 3$.