Номер 38.14, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.14. На рисунке 38.9 изображён график функции $f$. Укажите несколько значений аргумента $x$, для которых:

1) $f'(x) > 0$;

2) $f'(x) < 0$;

3) $f'(x) = 0$.

Рис. 38.9

Геометрический смысл производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ заключается в том, что ее значение равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции $f(x)$ в этой точке. Таким образом, мы можем определить знак производной по поведению графика функции:

• Если функция возрастает, то касательная направлена вверх, и производная $f'(x) > 0$.
• Если функция убывает, то касательная направлена вниз, и производная $f'(x) < 0$.
• В точках локальных максимумов и минимумов (вершинах и впадинах) касательная горизонтальна, и производная $f'(x) = 0$.

Рассмотрим график и определим значения $x$ для каждого случая.

1) $f'(x) > 0$
Производная положительна на интервалах, где функция $f(x)$ возрастает. Из графика видно, что функция возрастает на интервалах $(-3, -1)$ и $(1, 3)$.
Возьмем несколько значений $x$ из этих интервалов. Например, $x = -2$ или $x = 2$. В этих точках график функции идёт вверх.
Ответ: например, $x = -2$, $x = 2,5$.

2) $f'(x) < 0$
Производная отрицательна на интервалах, где функция $f(x)$ убывает. Из графика видно, что функция убывает на интервалах левее $x=-3$, между $x=-1$ и $x=1$, и правее $x=3$. То есть, на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-1, 1)$ и $(3, \infty)$.
Возьмем несколько значений $x$ из этих интервалов. Например, $x = -4$, $x = 0$ или $x = 4$. В этих точках график функции идёт вниз.
Ответ: например, $x = -4$, $x = 0$, $x = 4$.

3) $f'(x) = 0$
Производная равна нулю в точках экстремума функции (локальных максимумов и минимумов), где касательная к графику горизонтальна.
На графике это точки, соответствующие "вершинам" и "впадинам". Мы видим их при $x = -3$ (минимум), $x = -1$ (максимум), $x = 1$ (минимум) и $x = 3$ (максимум).
Ответ: $x = -3$, $x = -1$, $x = 1$, $x = 3$.