gdz.top
Номер 38.9, страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 38. Понятие производной - номер 38.9, страница 292.
№38.8
№38.9 (с. 292)
Условие. №38.9 (с. 292)
38.9. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:
1) $f(x) = x \sqrt[4]{x}$, $x_0 = 256$;
2) $f(x) = \sqrt[8]{x \sqrt{x}}$, $x_0 = 1$.
Решение. №38.9 (с. 292)
1) Сначала преобразуем функцию $f(x) = x \sqrt[4]{x}$, чтобы было удобнее применять правило дифференцирования. Используя свойство степеней, запишем корень как степень: $\sqrt[4]{x} = x^{1/4}$.
Тогда функция примет вид:
$f(x) = x^1 \cdot x^{1/4} = x^{1 + 1/4} = x^{5/4}$.
Теперь найдем производную функции $f(x)$ по формуле производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{5/4})' = \frac{5}{4} x^{5/4 - 1} = \frac{5}{4} x^{1/4}$.
Производную можно также записать в виде $f'(x) = \frac{5}{4} \sqrt[4]{x}$.
На последнем шаге вычислим значение производной в точке $x_0 = 256$:
$f'(256) = \frac{5}{4} \cdot (256)^{1/4} = \frac{5}{4} \sqrt[4]{256}$.
Так как $256 = 4^4$, то $\sqrt[4]{256} = 4$.
Подставляем это значение:
$f'(256) = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5$.
Ответ: $5$.
2) Сначала преобразуем функцию $f(x) = \sqrt[8]{x\sqrt{x}}$ к степенному виду. Начнем с выражения под корнем:
$x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.
Теперь подставим это обратно в функцию:
$f(x) = \sqrt[8]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/8}$.
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$f(x) = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8}} = x^{3/16}$.
Теперь найдем производную функции $f(x)$ по формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
$f'(x) = (x^{3/16})' = \frac{3}{16} x^{3/16 - 1} = \frac{3}{16} x^{-13/16}$.
На последнем шаге вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{3}{16} \cdot (1)^{-13/16}$.
Так как число 1 в любой степени равно 1, то $(1)^{-13/16} = 1$.
Следовательно:
$f'(1) = \frac{3}{16} \cdot 1 = \frac{3}{16}$.
Ответ: $\frac{3}{16}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 38.9 расположенного на странице 292 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №38.9 (с. 292), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.