Номер 38.4, страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.4. Продифференцируйте функцию:

1) $y = \sqrt[4]{x}$;

2) $y = \sqrt[8]{x^7}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$.

Для нахождения производных данных функций мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$. Для этого каждую функцию необходимо сначала представить в виде $y = x^n$.

1) $y = \sqrt[4]{x}$
Сначала представим функцию в виде степени с рациональным показателем:
$y = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$.
Теперь найдем производную, используя правило для степенной функции, где $n = \frac{1}{4}$:
$y' = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-\frac{4}{4}} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$.
Результат можно переписать в виде корня:
$y' = \frac{1}{4x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

2) $y = \sqrt[8]{x^7}$
Представим функцию в виде степени с рациональным показателем:
$y = \sqrt[8]{x^7} = x^{\frac{7}{8}}$.
Найдем производную, где $n = \frac{7}{8}$:
$y' = (x^{\frac{7}{8}})' = \frac{7}{8}x^{\frac{7}{8}-1} = \frac{7}{8}x^{\frac{7}{8}-\frac{8}{8}} = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}}$.
Перепишем результат в виде корня:
$y' = \frac{7}{8x^{\frac{1}{8}}} = \frac{7}{8\sqrt[8]{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{7}{8\sqrt[8]{x}}$.

3) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$
Представим функцию в виде степени с рациональным показателем, учитывая, что $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$:
$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$.
Найдем производную, где $n = -\frac{1}{2}$:
$y' = (x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-\frac{2}{2}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.
Перепишем результат в виде дроби с корнем:
$y' = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$.

4) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$
Представим функцию в виде степени с рациональным показателем:
$y = \frac{1}{x^{\frac{5}{8}}} = x^{-\frac{5}{8}}$.
Найдем производную, где $n = -\frac{5}{8}$:
$y' = (x^{-\frac{5}{8}})' = -\frac{5}{8}x^{-\frac{5}{8}-1} = -\frac{5}{8}x^{-\frac{5}{8}-\frac{8}{8}} = -\frac{5}{8}x^{-\frac{13}{8}}$.
Перепишем результат в виде дроби с корнем:
$y' = -\frac{5}{8x^{\frac{13}{8}}} = -\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}}$.
Ответ: $y' = -\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}}$.