Вопросы?, страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют производной функции в точке?

2. Запишите равенства, выражающие механический и геометрический смысл производной.

3. Какую функцию называют дифференцируемой в точке; на множестве?

1. Что называют производной функции в точке?
Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называют предел отношения приращения функции $\Delta y$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю, при условии, что этот предел существует и конечен.
Обозначается производная как $f'(x_0)$ или $y'(x_0)$.
Формула для нахождения производной в точке $x_0$:
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
где $\Delta x$ — приращение аргумента, а $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ — приращение функции.
Ответ: Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

2. Запишите равенства, выражающие механический и геометрический смысл производной.
Механический (или физический) смысл производной:
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется со временем по закону $s(t)$, то производная этой функции по времени $t$ равна мгновенной скорости движения точки в момент времени $t_0$.
Равенство: $v(t_0) = s'(t_0)$.

Геометрический смысл производной:
Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox.
Равенство: $f'(x_0) = k = \tan \alpha$.
Ответ: Механический смысл: $v(t_0) = s'(t_0)$. Геометрический смысл: $f'(x_0) = \tan \alpha$.

3. Какую функцию называют дифференцируемой в точке; на множестве?
Дифференцируемость в точке:
Функцию $y=f(x)$ называют дифференцируемой в точке $x_0$, если в этой точке существует ее производная, то есть существует конечный предел $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$. Важным свойством является то, что если функция дифференцируема в точке, она обязательно непрерывна в этой точке.

Дифференцируемость на множестве:
Функцию называют дифференцируемой на некотором множестве (например, на интервале $(a, b)$), если она дифференцируема в каждой точке этого множества. Это означает, что для любой точки $x$ из этого множества существует производная $f'(x)$.
Ответ: Функцию называют дифференцируемой в точке, если в этой точке существует ее производная. Функцию называют дифференцируемой на множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.