Номер 37.5, страница 283 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.5. Для функции $f(x) = x^2 - x$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Для решения задачи сначала найдем приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$, а затем вычислим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и его предел при $\Delta x \to 0$.

Приращение функции $\Delta f$ определяется как $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.
Для заданной функции $f(x) = x^2 - x$ найдем значения в точках $x_0$ и $x_0 + \Delta x$:
$f(x_0) = x_0^2 - x_0$
$f(x_0 + \Delta x) = (x_0 + \Delta x)^2 - (x_0 + \Delta x) = (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) - x_0 - \Delta x$
Теперь вычислим приращение функции $\Delta f$:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x) - (x_0^2 - x_0)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\Delta f = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x - x_0^2 + x_0 = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x$
Теперь найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x}{\Delta x}$
Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки и сократим дробь (при условии, что $\Delta x \neq 0$):
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x (2x_0 + \Delta x - 1)}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x - 1$
Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x - 1$.

Далее найдем предел полученного отношения при $\Delta x \to 0$. Этот предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x_0 + \Delta x - 1)$
Так как выражение под знаком предела является непрерывной функцией относительно $\Delta x$, мы можем выполнить предельный переход, подставив $\Delta x = 0$:
$\lim_{\Delta x \to 0} (2x_0 + \Delta x - 1) = 2x_0 + 0 - 1 = 2x_0 - 1$
Ответ: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = 2x_0 - 1$.