Номер 36.13, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.13. Вычислите:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}};$

2) $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4};$

3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}.$

1) Найдем предел $\lim_{x \to 0} \frac{x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}$.
При прямой подстановке $x = 0$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия преобразуем выражение. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, мы рассматриваем предел при $x \to 0^+$.
Вынесем в числителе и знаменателе за скобки $\sqrt{x}$. Учитывая, что $x = (\sqrt{x})^2$:
$\lim_{x \to 0} \frac{x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}$
Сократим дробь на $\sqrt{x}$, так как $x \to 0$, но $x \neq 0$:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$
Теперь подставим предельное значение $x = 0$:
$\frac{\sqrt{0} + 1}{\sqrt{0} - 1} = \frac{0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$
Ответ: -1

2) Найдем предел $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$.
При прямой подстановке $x = 4$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим $x - 4$ как $(\sqrt{x})^2 - 2^2$:
$x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$
Подставим это в исходное выражение:
$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$
Сократим дробь на $(\sqrt{x} - 2)$, так как $x \to 4$, но $x \neq 4$:
$\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$
Теперь подставим предельное значение $x = 4$:
$\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Найдем предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}$.
При прямой подстановке $x = 1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия преобразуем числитель. Вынесем за скобки $\sqrt{x}$:
$x^2 - \sqrt{x} = \sqrt{x}(x\sqrt{x} - 1) = \sqrt{x}((\sqrt{x})^3 - 1^3)$
Применим к выражению в скобках формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = 1$:
$(\sqrt{x})^3 - 1^3 = (\sqrt{x} - 1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)$
Таким образом, числитель равен $\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)$.
Подставим разложенный числитель в предел:
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{1 - \sqrt{x}}$
Заметим, что $1 - \sqrt{x} = -(\sqrt{x} - 1)$. Сократим дробь на $(\sqrt{x} - 1)$:
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{-(\sqrt{x} - 1)} = \lim_{x \to 1} -\sqrt{x}(x + \sqrt{x} + 1)$
Теперь подставим предельное значение $x = 1$:
$-\sqrt{1}(1 + \sqrt{1} + 1) = -1(1 + 1 + 1) = -1 \cdot 3 = -3$
Ответ: -3