Номер 36.10, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.10. Вычислите:

1) $\lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 3x}$;

2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 4x$;

3) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{x}$;

4) $\lim_{x \to 0} \operatorname{ctg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

1) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 3x}$.

Функция $f(x) = \sqrt{1 - 3x}$ является непрерывной в точке $x = 0$ (так как точка $x=0$ входит в область определения функции $1-3x \ge 0$, т.е. $x \le 1/3$). Для нахождения предела функции в точке, где она непрерывна, достаточно подставить это значение в функцию.

$\lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 3x} = \sqrt{1 - 3 \cdot 0} = \sqrt{1 - 0} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

2) Вычислим предел $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 4x$.

Функция $f(x) = \cos 4x$ является непрерывной на всей числовой прямой. Следовательно, для нахождения предела можно просто подставить значение $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию.

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 4x = \cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \cos(2\pi)$.

Мы знаем, что значение косинуса в точке $2\pi$ равно 1.

$\cos(2\pi) = 1$.

Ответ: 1

3) Вычислим предел $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{x}$.

Функция $f(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{x}$ определена и непрерывна в точке $x = 1$, так как знаменатель в этой точке не равен нулю ($1 \ne 0$) и подкоренное выражение неотрицательно ($1 \ge 0$). Поэтому для вычисления предела достаточно подставить значение $x=1$ в выражение.

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{x} = \frac{\sqrt{1} + 1}{1} = \frac{1 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2$.

Ответ: 2

4) Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Функция котангенса $\operatorname{ctg}(u)$ непрерывна везде, кроме точек, где $u = k\pi$ для любого целого $k$. В нашем случае аргумент $u = x - \frac{\pi}{4}$. В точке $x=0$ аргумент равен $0 - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$, что не является кратным $\pi$. Следовательно, функция $f(x) = \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ непрерывна в точке $x=0$.

Найдем предел прямой подстановкой:

$\lim_{x \to 0} \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(0 - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$.

Так как котангенс - нечетная функция ($\operatorname{ctg}(-a) = -\operatorname{ctg}(a)$), то:

$\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Ответ: -1