Номер 36.4, страница 270 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.4. На рисунке 36.16 изображён график функции $y = f(x)$.

1) Чему равно значение функции $f$ в точке $x_0 = 1$?

2) Существует ли предел функции $f$ в точке $x_0 = 1$? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.

3) Существует ли предел функции $f$ в точке $x_0 = 2$? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.

Рис. 36.16 a б

Рисунок 36.16 а

1) Чему равно значение функции f в точке x₀ = 1?
На графике функции в точке, где абсцисса $x_0 = 1$, мы видим две точки: одну закрашенную (сплошную) и одну выколотую (пустую). Значение функции в точке определяется положением закрашенной точки. Координаты этой точки — $(1, 2)$. Следовательно, значение функции $f$ в точке $x_0 = 1$ равно 2.
Ответ: $f(1) = 2$.

2) Существует ли предел функции f в точке x₀ = 1? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.
Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют и равны друг другу левосторонний и правосторонний пределы в этой точке.
Найдем левосторонний предел (приближаемся к $x=1$ слева, $x \to 1^-$): по графику видно, что значения функции стремятся к 2. Таким образом, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$.
Найдем правосторонний предел (приближаемся к $x=1$ справа, $x \to 1^+$): по графику видно, что значения функции стремятся к 1.5. Таким образом, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1.5$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не равны ($2 \neq 1.5$), предел функции $f$ в точке $x_0 = 1$ не существует.
Ответ: нет, предел не существует.

3) Существует ли предел функции f в точке x₀ = 2? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.
Аналогично предыдущему пункту, проверим односторонние пределы в точке $x_0 = 2$.
Левосторонний предел: когда $x$ стремится к 2 слева ($x \to 2^-$), значения функции $f(x)$ стремятся к 1. То есть, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$.
Правосторонний предел: когда $x$ стремится к 2 справа ($x \to 2^+$), значения функции $f(x)$ также стремятся к 1. То есть, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$.
Так как левосторонний и правосторонний пределы равны, предел функции в точке $x_0 = 2$ существует и равен их общему значению.
Ответ: да, существует, $\lim_{x \to 2} f(x) = 1$.

Рисунок 36.16 б

1) Чему равно значение функции f в точке x₀ = 1?
На графике в точке $x_0 = 1$ линия непрерывна. Чтобы найти значение функции, нужно найти ординату точки на графике с абсциссой 1. Эта точка имеет координаты $(1, 2)$. Следовательно, $f(1) = 2$.
Ответ: $f(1) = 2$.

2) Существует ли предел функции f в точке x₀ = 1? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.
Проверим равенство односторонних пределов в точке $x_0 = 1$.
Когда $x$ стремится к 1 слева ($x \to 1^-$), значения функции $f(x)$ стремятся к 2. Таким образом, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$.
Когда $x$ стремится к 1 справа ($x \to 1^+$), значения функции $f(x)$ также стремятся к 2. Таким образом, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$.
Односторонние пределы равны, следовательно, предел функции в этой точке существует и равен 2.
Ответ: да, существует, $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.

3) Существует ли предел функции f в точке x₀ = 2? В случае утвердительного ответа запишите с использованием соответствующей символики, чему он равен.
На графике в точке $x_0 = 2$ изображена выколотая точка. Это означает, что функция в самой точке $x=2$ не определена. Однако для существования предела значение функции в самой точке не имеет значения.
Найдем односторонние пределы.
Левосторонний предел: когда $x$ стремится к 2 слева ($x \to 2^-$), значения функции $f(x)$ стремятся к 1. Таким образом, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$.
Правосторонний предел: когда $x$ стремится к 2 справа ($x \to 2^+$), значения функции $f(x)$ также стремятся к 1. Таким образом, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы равны, предел функции в точке $x_0 = 2$ существует и равен 1.
Ответ: да, существует, $\lim_{x \to 2} f(x) = 1$.