Номер 35.12, страница 258 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.12. Решите неравенство:

1) $ \sin 2x + 2 \sin x > 0; $

2) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x < 0; $

3) $ \sin^2 x + \sin^2 2x - \sin^2 3x > 0; $

4) $ \cos x \cos 3x < \cos 5x \cos 7x. $

1) Решим неравенство $\sin{2x} + 2\sin{x} > 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$:

$2\sin{x}\cos{x} + 2\sin{x} > 0$

Вынесем общий множитель $2\sin{x}$ за скобки:

$2\sin{x}(\cos{x} + 1) > 0$

Проанализируем множители. Мы знаем, что $-1 \le \cos{x} \le 1$, следовательно, $0 \le \cos{x} + 1 \le 2$. Таким образом, множитель $(\cos{x} + 1)$ всегда неотрицателен.

Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} \sin{x} > 0 \\ \cos{x} + 1 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства следует, что $\cos{x} > -1$, то есть $\cos{x} \ne -1$.

Решим первое неравенство $\sin{x} > 0$. Это выполняется, когда $x$ находится в первой или второй четверти, то есть $2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим условие $\cos{x} \ne -1$. Равенство $\cos{x} = -1$ достигается при $x = \pi + 2\pi k$. Эти точки являются границами полученного интервала и не входят в решение. Таким образом, второе условие выполняется автоматически.

Ответ: $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $\sin{x} + \sin{2x} + \sin{3x} + \sin{4x} < 0$.

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$(\sin{x} + \sin{4x}) + (\sin{2x} + \sin{3x}) < 0$

$2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} + 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} < 0$

Вынесем общий множитель $2\sin\frac{5x}{2}$ за скобки:

$2\sin\frac{5x}{2}(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2}) < 0$

Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\sin\frac{5x}{2}(2\cos\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}) < 0$

$4\sin\frac{5x}{2}\cos{x}\cos\frac{x}{2} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Период функции в левой части равен $4\pi$. Решим неравенство на промежутке $[0, 2\pi)$, а затем обобщим. Период функции $f(x) = \sin\frac{5x}{2}\cos{x}\cos\frac{x}{2}$ равен $2\pi$, так как $f(x+2\pi) = \sin(\frac{5x}{2}+5\pi)\cos(x+2\pi)\cos(\frac{x}{2}+\pi) = (-\sin\frac{5x}{2})(\cos x)(-\cos\frac{x}{2}) = f(x)$.

Найдем нули функции на промежутке $[0, 2\pi)$:

• $\sin\frac{5x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{5x}{2} = \pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi k}{5}$. Нули: $0, \frac{2\pi}{5}, \frac{4\pi}{5}, \frac{6\pi}{5}, \frac{8\pi}{5}$.
• $\cos{x} = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Нули: $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
• $\cos\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$. Нуль: $\pi$.

Расположим нули на числовой окружности: $0, \frac{2\pi}{5}, \frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{5}, \pi, \frac{6\pi}{5}, \frac{3\pi}{2}, \frac{8\pi}{5}$.

Определим знаки произведения на полученных интервалах:

• $(0, \frac{2\pi}{5})$: $(+)(+)(+)=+$
• $(\frac{2\pi}{5}, \frac{\pi}{2})$: $(-)(+)(+)=-$
• $(\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{5})$: $(-)(+)(-)=+$
• $(\frac{4\pi}{5}, \pi)$: $(+)(+)(-)=-$
• $(\pi, \frac{6\pi}{5})$: $(+)(-)(-)=+$
• $(\frac{6\pi}{5}, \frac{3\pi}{2})$: $(-)(-)(-)=-$
• $(\frac{3\pi}{2}, \frac{8\pi}{5})$: $(-)(-)(+)=+$
• $(\frac{8\pi}{5}, 2\pi)$: $(+)(-)(+)=-$

Интервалы, где произведение отрицательно: $(\frac{2\pi}{5}, \frac{\pi}{2})$, $(\frac{4\pi}{5}, \pi)$, $(\frac{6\pi}{5}, \frac{3\pi}{2})$, $(\frac{8\pi}{5}, 2\pi)$.

Добавляя период $2\pi k$, получаем общее решение.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( (\frac{2\pi}{5} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\frac{4\pi}{5} + 2\pi k, \pi + 2\pi k) \cup (\frac{6\pi}{5} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k) \cup (\frac{8\pi}{5} + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k) \right)$.

3) Решим неравенство $\sin^2{x} + \sin^2{2x} - \sin^2{3x} > 0$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos{2\alpha}}{2}$:

$\frac{1-\cos{2x}}{2} + \frac{1-\cos{4x}}{2} - \frac{1-\cos{6x}}{2} > 0$

$1 - \cos{2x} + 1 - \cos{4x} - 1 + \cos{6x} > 0$

$1 - (\cos{2x} + \cos{4x}) + \cos{6x} > 0$

Сгруппируем слагаемые: $(1 + \cos{6x}) - (\cos{2x} + \cos{4x}) > 0$.

Применим формулу $1+\cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha$ и формулу суммы косинусов:

$2\cos^2{3x} - 2\cos{3x}\cos{x} > 0$

$2\cos{3x}(\cos{3x} - \cos{x}) > 0$

Применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\cos{3x}(-2\sin{2x}\sin{x}) > 0$

$-4\cos{3x}\sin{2x}\sin{x} > 0$

$\cos{3x}\sin{2x}\sin{x} < 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$:

$\cos{3x}(2\sin{x}\cos{x})\sin{x} < 0$

$2\cos{3x}\cos{x}\sin^2{x} < 0$

Множитель $\sin^2{x} \ge 0$. Чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы $\sin^2{x} \ne 0$ и $\cos{3x}\cos{x} < 0$.

1. Условие $\sin^2{x} \ne 0$ означает $\sin{x} \ne 0$, то есть $x \ne \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Условие $\cos{3x}\cos{x} < 0$ означает, что $\cos{3x}$ и $\cos{x}$ имеют разные знаки. Решим методом интервалов на промежутке $[0, \pi)$, так как период функции $\cos{3x}\cos{x}$ равен $\pi$. Нули: $\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}$; $\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$. Нули на $[0, \pi)$: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$.

• $(0, \frac{\pi}{6})$: $\cos{x}>0, \cos{3x}>0 \Rightarrow (+)(+)=+$
• $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$: $\cos{x}>0, \cos{3x}<0 \Rightarrow (+)(-)=-$
• $(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$: $\cos{x}<0, \cos{3x}>0 \Rightarrow (-)(+)=-$
• $(\frac{5\pi}{6}, \pi)$: $\cos{x}<0, \cos{3x}<0 \Rightarrow (-)(-)=+$

Решением неравенства $\cos{3x}\cos{x} < 0$ являются интервалы $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$. Точка $x=\frac{\pi}{2}$ исключается, так как в ней произведение равно нулю.

Условие $x \ne \pi k$ выполняется для этих интервалов. Обобщая с периодом $\pi k$, получаем решение.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $\cos{x}\cos{3x} < \cos{5x}\cos{7x}$.

Используем формулу произведения косинусов $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta))$:

$\frac{1}{2}(\cos(3x-x) + \cos(3x+x)) < \frac{1}{2}(\cos(7x-5x) + \cos(7x+5x))$

$\frac{1}{2}(\cos{2x} + \cos{4x}) < \frac{1}{2}(\cos{2x} + \cos{12x})$

$\cos{2x} + \cos{4x} < \cos{2x} + \cos{12x}$

$\cos{4x} < \cos{12x}$

$\cos{12x} - \cos{4x} > 0$

Применим формулу разности косинусов:

$-2\sin\frac{12x+4x}{2}\sin\frac{12x-4x}{2} > 0$

$-2\sin{8x}\sin{4x} > 0$

$\sin{8x}\sin{4x} < 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin{8x} = 2\sin{4x}\cos{4x}$:

$(2\sin{4x}\cos{4x})\sin{4x} < 0$

$2\sin^2{4x}\cos{4x} < 0$

Множитель $2\sin^2{4x} \ge 0$. Чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо выполнение двух условий:

1. $2\sin^2{4x} \ne 0 \Rightarrow \sin{4x} \ne 0$.

2. $\cos{4x} < 0$.

Решим второе неравенство. Пусть $t = 4x$. Тогда $\cos{t} < 0$. Это выполняется, когда $t$ находится во второй или третьей четверти:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставляем обратно $t=4x$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 4x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

$\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$

Теперь учтем первое условие: $\sin{4x} \ne 0$. Это означает, что $4x \ne \pi k$, или $x \ne \frac{\pi k}{4}$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужно исключить из полученных интервалов точки вида $\frac{\pi k}{4}$. Проверим, какие из этих точек попадают в интервал $(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2})$.

Для любого целого $n$ точка $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{2\pi+4\pi n}{8} = \frac{\pi(2n+1)}{4}$ удовлетворяет условию $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

Следовательно, эти точки нужно исключить, разбив каждый интервал на два.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}) \cup (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}$.