Номер 35.8, страница 258 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.8. Решите неравенство:

1) $\sin^6 x + \cos^6 x \ge \frac{5}{8}$;

2) $\sin x \ge \cos x.$

Преобразуем левую часть неравенства. Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, положив $a = \sin^2x$ и $b = \cos^2x$. Учитывая основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:

$\sin^6x + \cos^6x = (\sin^2x)^3 + (\cos^2x)^3 = (\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x - \sin^2x\cos^2x + \cos^4x)$

$= 1 \cdot (\sin^4x + \cos^4x - \sin^2x\cos^2x)$

Выражение $\sin^4x + \cos^4x$ также можно упростить, выделив полный квадрат:

$\sin^4x + \cos^4x = (\sin^2x+\cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x = 1 - 2\sin^2x\cos^2x$

Подставим это обратно в преобразованное выражение:

$\sin^6x + \cos^6x = (1 - 2\sin^2x\cos^2x) - \sin^2x\cos^2x = 1 - 3\sin^2x\cos^2x$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$, из которой следует, что $\sin^2x\cos^2x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

$\sin^6x + \cos^6x = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$

Теперь исходное неравенство принимает вид:

$1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x) \ge \frac{5}{8}$

Выразим $\sin^2(2x)$:

$1 - \frac{5}{8} \ge \frac{3}{4}\sin^2(2x)$

$\frac{3}{8} \ge \frac{3}{4}\sin^2(2x)$

Умножим обе части на $\frac{4}{3}$:

$\frac{1}{2} \ge \sin^2(2x)$

$\sin^2(2x) \le \frac{1}{2}$

Данное неравенство равносильно неравенству $|\sin(2x)| \le \frac{1}{\sqrt{2}}$, или $|\sin(2x)| \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого неравенства для аргумента $2x$ является множество значений, для которых синус по модулю не превышает $\frac{\sqrt{2}}{2}$. На тригонометрической окружности это соответствует углам, удовлетворяющим условию:

$-\frac{\pi}{4} + \pi k \le 2x \le \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right], k \in \mathbb{Z}$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\sin x - \cos x \ge 0$

Для решения этого неравенства применим метод вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) \ge 0$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4}$. Подставим эти значения в выражение:

$\sqrt{2} \left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) \ge 0$

Выражение в скобках является формулой синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$\sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0$

Разделим обе части на $\sqrt{2} > 0$, знак неравенства при этом не изменится:

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \ge 0$

Сделаем замену $t = x - \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $\sin t \ge 0$.

Функция синус неотрицательна в первой и второй координатных четвертях, что соответствует углам $t$ в промежутке:

$2\pi n \le t \le \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = x - \frac{\pi}{4}$:

$2\pi n \le x - \frac{\pi}{4} \le \pi + 2\pi n$

Чтобы найти $x$, прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям двойного неравенства:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.