Номер 35.1, страница 257 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.1. Решите неравенство:

1) $ \sin x < \frac{1}{2} $;

2) $ \sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

3) $ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} $;

4) $ \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2} $;

5) $ \operatorname{tg} x < -1 $;

6) $ \operatorname{tg} x \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $;

7) $ \operatorname{ctg} x \le \sqrt{3} $;

8) $ \operatorname{ctg} x > -1 $;

9) $ \sin x < \frac{1}{6} $;

10) $ \operatorname{tg} x > 3 $.

Решим неравенство $ \sin x < \frac{1}{2} $. Найдём на единичной окружности точки, для которых ордината (координата y) равна $ \frac{1}{2} $. Это углы $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{5\pi}{6} $. Неравенству $ \sin x < \frac{1}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, которые лежат ниже прямой $ y = \frac{1}{2} $. Если двигаться по окружности против часовой стрелки, то эта дуга начинается от угла $ \frac{5\pi}{6} $ и заканчивается углом $ \frac{\pi}{6} $ на следующем обороте, то есть $ \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} $. Таким образом, решением является интервал $ (\frac{5\pi}{6}; \frac{13\pi}{6}) $. Учитывая периодичность синуса (период $ 2\pi $), общее решение имеет вид: $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z $. Это решение также можно записать в виде $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z $.
Ответ: $ x \in (-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n), n \in Z $.

Решим неравенство $ \sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Найдём на единичной окружности точки, для которых ордината равна $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это углы $ x = -\frac{\pi}{3} $ и $ x = -\frac{2\pi}{3} $ (или $ \frac{4\pi}{3} $). Неравенству $ \sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, которые лежат на прямой $ y = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ или выше неё. Эта дуга начинается от угла $ -\frac{\pi}{3} $ и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается углом $ \frac{4\pi}{3} $. Таким образом, решением на одном обороте является промежуток $ [-\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}] $. Учитывая периодичность, общее решение: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $.
Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{4\pi}{3} + 2\pi n], n \in Z $.

Решим неравенство $ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} $. Найдём на единичной окружности точки, для которых абсцисса (координата x) равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это углы $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ x = -\frac{\pi}{4} $. Неравенству $ \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, которые лежат правее прямой $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Эта дуга начинается от угла $ -\frac{\pi}{4} $ и заканчивается углом $ \frac{\pi}{4} $. Таким образом, решением является интервал $ (-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}) $. Учитывая периодичность косинуса, общее решение: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z $.
Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n), n \in Z $.

Решим неравенство $ \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2} $. Найдём на единичной окружности точки, для которых абсцисса равна $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это углы $ x = \frac{\pi}{6} $ и $ x = -\frac{\pi}{6} $ (или $ \frac{11\pi}{6} $). Неравенству $ \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствуют точки на единичной окружности, которые лежат на прямой $ x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ или левее неё. Эта дуга начинается от угла $ \frac{\pi}{6} $ и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается углом $ \frac{11\pi}{6} $. Таким образом, решением является промежуток $ [\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}] $. Учитывая периодичность, общее решение: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z $.
Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{11\pi}{6} + 2\pi n], n \in Z $.

Решим неравенство $ \tg x < -1 $. Период тангенса равен $ \pi $. Рассмотрим решение на интервале $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $. Найдём корень уравнения $ \tg x = -1 $. На данном интервале это $ x = -\frac{\pi}{4} $. Функция $ y = \tg x $ является возрастающей на всей области определения. Следовательно, неравенство $ \tg x < -1 $ будет выполняться для всех $ x $, меньших $ -\frac{\pi}{4} $, в пределах рассматриваемого интервала. Левая граница интервала определяется вертикальной асимптотой $ x = -\frac{\pi}{2} $. Таким образом, на интервале $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $ решение - это $ -\frac{\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{4} $. Учитывая периодичность, общее решение: $ -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $.
Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi n), n \in Z $.

Решим неравенство $ \tg x \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $. Период тангенса равен $ \pi $. Рассмотрим решение на интервале $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $. Найдём корень уравнения $ \tg x = \frac{\sqrt{3}}{3} $. На данном интервале это $ x = \frac{\pi}{6} $. Так как функция $ y = \tg x $ возрастающая, неравенство $ \tg x \ge \frac{\sqrt{3}}{3} $ выполняется для всех $ x $, больших или равных $ \frac{\pi}{6} $. Правая граница интервала определяется вертикальной асимптотой $ x = \frac{\pi}{2} $. Таким образом, на интервале $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $ решение - это $ \frac{\pi}{6} \le x < \frac{\pi}{2} $. Учитывая периодичность, общее решение: $ \frac{\pi}{6} + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $.
Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in Z $.

Решим неравенство $ \ctg x \le \sqrt{3} $. Период котангенса равен $ \pi $. Рассмотрим решение на интервале $ (0; \pi) $. Найдём корень уравнения $ \ctg x = \sqrt{3} $. На данном интервале это $ x = \frac{\pi}{6} $. Функция $ y = \ctg x $ является убывающей на всей области определения. Следовательно, неравенство $ \ctg x \le \sqrt{3} $ будет выполняться для всех $ x $, больших или равных $ \frac{\pi}{6} $. Правая граница интервала определяется вертикальной асимптотой $ x = \pi $. Таким образом, на интервале $ (0; \pi) $ решение - это $ \frac{\pi}{6} \le x < \pi $. Учитывая периодичность, общее решение: $ \frac{\pi}{6} + \pi n \le x < \pi + \pi n, n \in Z $.
Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{6} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z $.

Решим неравенство $ \ctg x > -1 $. Период котангенса равен $ \pi $. Рассмотрим решение на интервале $ (0; \pi) $. Найдём корень уравнения $ \ctg x = -1 $. На данном интервале это $ x = \frac{3\pi}{4} $. Так как функция $ y = \ctg x $ убывающая, неравенство $ \ctg x > -1 $ выполняется для всех $ x $, меньших $ \frac{3\pi}{4} $. Левая граница интервала определяется вертикальной асимптотой $ x = 0 $. Таким образом, на интервале $ (0; \pi) $ решение - это $ 0 < x < \frac{3\pi}{4} $. Учитывая периодичность, общее решение: $ \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in Z $.
Ответ: $ x \in (\pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n), n \in Z $.

Решим неравенство $ \sin x < \frac{1}{6} $. Решение аналогично задаче 1), но с использованием арксинуса. Корнями уравнения $ \sin x = \frac{1}{6} $ являются $ x = \arcsin\frac{1}{6} + 2\pi n $ и $ x = \pi - \arcsin\frac{1}{6} + 2\pi n, n \in Z $. На единичной окружности неравенству соответствуют точки, лежащие ниже прямой $ y = \frac{1}{6} $. Эта дуга начинается от угла $ \pi - \arcsin\frac{1}{6} $ и заканчивается углом $ \arcsin\frac{1}{6} $ на следующем обороте. Учитывая периодичность, общее решение можно записать так: $ \pi - \arcsin\frac{1}{6} + 2\pi n < x < 2\pi + \arcsin\frac{1}{6} + 2\pi n, n \in Z $. Или в более компактной форме: $ -\pi - \arcsin\frac{1}{6} + 2\pi n < x < \arcsin\frac{1}{6} + 2\pi n, n \in Z $.
Ответ: $ x \in (-\pi - \arcsin\frac{1}{6} + 2\pi n; \arcsin\frac{1}{6} + 2\pi n), n \in Z $.

Решим неравенство $ \tg x > 3 $. Решение аналогично задаче 6), но с использованием арктангенса. Период тангенса равен $ \pi $. Найдём корень уравнения $ \tg x = 3 $. Это $ x = \arctan 3 $. Так как функция $ y = \tg x $ возрастающая, неравенство $ \tg x > 3 $ выполняется для всех $ x $, больших $ \arctan 3 $. Интервал ограничен справа вертикальной асимптотой $ x = \frac{\pi}{2} $. Решение на одном периоде: $ \arctan 3 < x < \frac{\pi}{2} $. Учитывая периодичность, общее решение: $ \arctan 3 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $.
Ответ: $ x \in (\arctan 3 + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in Z $.