Номер 34.8, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.8. Решите уравнение:

1) $\sqrt{\cos x \sin x} = 0$

2) $\sqrt{\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x} = 0$

3) $\sqrt{\sin x (4 - 5 \cos x - 2 \sin^2 x)} = 0$

1) $\sqrt{\cos x} \sin x = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $\cos x \ge 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Рассмотрим два случая:

а) $\sin x = 0$.
Решениями этого уравнения являются $x = \pi n$, где $n \in Z$.
Необходимо проверить, удовлетворяют ли эти решения условию ОДЗ $\cos x \ge 0$.
- Если $n$ — четное число, т.е. $n = 2k$ ($k \in Z$), то $x = 2\pi k$. В этих точках $\cos(2\pi k) = 1$, что удовлетворяет условию $1 \ge 0$. Следовательно, серия корней $x = 2\pi k, k \in Z$ является решением исходного уравнения.
- Если $n$ — нечетное число, т.е. $n = 2k + 1$ ($k \in Z$), то $x = \pi(2k+1) = \pi + 2\pi k$. В этих точках $\cos(\pi + 2\pi k) = -1$, что не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$. Следовательно, эти корни являются посторонними.

б) $\sqrt{\cos x} = 0$.
Это уравнение равносильно уравнению $\cos x = 0$.
Решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
При этих значениях $x$ условие ОДЗ $\cos x \ge 0$ выполняется, так как $\cos x = 0$.

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in Z$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

2) $\sqrt{\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}} \sin x = 0$

ОДЗ уравнения: $\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0$, что эквивалентно $\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Уравнение распадается на два случая:

а) $\sin x = 0$ (при выполнении ОДЗ).
Решения: $x = \pi k, k \in Z$.
Проверим ОДЗ $\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.
- При $x = 2\pi n$ ($n \in Z$), $\cos(2\pi n) = 1$. Неравенство $1 \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ верно, значит, $x = 2\pi n, n \in Z$ — решения.
- При $x = \pi + 2\pi n$ ($n \in Z$), $\cos(\pi + 2\pi n) = -1$. Неравенство $-1 \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ неверно, значит, эти корни не являются решениями.

б) $\sqrt{\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 0$.
Это уравнение равносильно $\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$, то есть $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решения: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\cos x$ в точности равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Объединяем все найденные серии решений.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in Z$; $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$.

3) $\sqrt{\sin x} (4 - 5\cos x - 2\sin^2 x) = 0$

ОДЗ уравнения: $\sin x \ge 0$.

Уравнение равносильно совокупности двух систем:

а) $\sqrt{\sin x} = 0$.
Это равносильно $\sin x = 0$. Решениями являются $x = \pi n, n \in Z$.
Все эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $\sin(\pi n) = 0 \ge 0$.

б) $4 - 5\cos x - 2\sin^2 x = 0$ при условии $\sin x \ge 0$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:
$4 - 5\cos x - 2(1 - \cos^2 x) = 0$
$4 - 5\cos x - 2 + 2\cos^2 x = 0$
$2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0$
Введем замену $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.
$2t^2 - 5t + 2 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$
Возвращаемся к замене. Корень $t_2 = 2$ не подходит, так как $|\cos x| \le 1$.
Остается $\cos x = \frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$.
Проверим эти решения на соответствие ОДЗ $\sin x \ge 0$.
- Для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: $\sin(\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$. Эта серия корней подходит.
- Для $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$: $\sin(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. Эта серия корней не подходит.

Объединяем решения из случаев а) и б).

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$.