Номер 34.6, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.6. Решите уравнение:

1) $\frac{\cos^2 2x - \sin^2 x}{\sin 3x - 1} = 0;$

2) $\frac{\cos x + \cos 3x + 2}{\sin \frac{x}{2} - \frac{1}{2}} = 0.$

1) $\frac{\cos^2{2x} - \sin^2{2x}}{\sin{3x} - 1} = 0;$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие равносильно системе:

$\begin{cases} \cos^2{2x} - \sin^2{2x} = 0, \\ \sin{3x} - 1 \neq 0. \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение системы. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$, где $\alpha=2x$.

$\cos(2 \cdot 2x) = 0$

$\cos{4x} = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решения которого:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Разделив на 4, получаем:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь рассмотрим второе условие системы (ограничение на знаменатель):

$\sin{3x} - 1 \neq 0 \implies \sin{3x} \neq 1$

Решения для $\sin{y} = 1$ имеют вид $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, значит:

$3x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Необходимо проверить, совпадают ли какие-либо из найденных корней $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$ с исключаемыми значениями. Для этого приравняем выражения для $x$:

$\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

Сократим на $\pi$ и приведем к общему знаменателю 24:

$\frac{1}{8} + \frac{k}{4} = \frac{1}{6} + \frac{2n}{3} \quad | \cdot 24$

$3 + 6k = 4 + 16n$

$6k - 16n = 1$

$2(3k - 8n) = 1$

В левой части уравнения стоит четное число, так как выражение в скобках является целым, умноженным на 2. В правой части стоит нечетное число 1. Равенство четного и нечетного чисел невозможно. Это означает, что данное уравнение не имеет решений в целых числах $k$ и $n$, и, следовательно, ни один из найденных корней не обращает знаменатель в ноль.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\cos x + \cos 3x + 2}{\sin{\frac{x}{2}} - \frac{1}{2}} = 0.$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x + \cos 3x + 2 = 0, \\ \sin{\frac{x}{2}} - \frac{1}{2} \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы: $\cos x + \cos 3x + 2 = 0$, что эквивалентно $\cos x + \cos 3x = -2$.

Поскольку область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то $-1 \le \cos x \le 1$ и $-1 \le \cos 3x \le 1$. Сумма двух косинусов может быть равна $-2$ только в том случае, когда каждый из них принимает свое минимальное значение, равное $-1$.

Таким образом, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x = -1, \\ \cos 3x = -1. \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\cos x = -1$.

$x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Проверим, удовлетворяют ли эти значения второму уравнению системы:

$\cos(3x) = \cos(3(\pi + 2\pi k)) = \cos(3\pi + 6\pi k) = \cos(3\pi)$.

Так как $3\pi = \pi + 2\pi$, то $\cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Следовательно, все решения первого уравнения удовлетворяют и второму. Решения числителя: $x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Теперь рассмотрим условие для знаменателя: $\sin{\frac{x}{2}} - \frac{1}{2} \neq 0$, то есть $\sin{\frac{x}{2}} \neq \frac{1}{2}$.

Подставим найденные решения $x = \pi + 2\pi k$ в это неравенство:

$\sin\left(\frac{\pi + 2\pi k}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)$.

Используя формулы приведения, получаем:

• Если $k$ — четное число ($k=2n$), то $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$), то $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi(2n+1)) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

В обоих случаях значение $\sin(\frac{x}{2})$ равно $1$ или $-1$, но не $\frac{1}{2}$. Следовательно, знаменатель не обращается в ноль ни при каких целых $k$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.