Номер 34.5, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.5. Решите уравнение:

1) $\frac{\cos x - 4\sin^2 x \cos x}{\sin 3x + 1} = 0;$

2) $\frac{\sin x + \cos 4x - 2}{2\cos \frac{x}{2} - \sqrt{2}} = 0.$

1) $\frac{\cos x - 4 \sin^2 x \cos x}{\sin 3x + 1} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x - 4 \sin^2 x \cos x = 0 \\ \sin 3x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы, вынеся $\cos x$ за скобки:

$\cos x (1 - 4 \sin^2 x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $1 - 4 \sin^2 x = 0$, откуда $\sin^2 x = \frac{1}{4}$, то есть $\sin x = \pm \frac{1}{2}$. Решениями этого уравнения являются серии $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь рассмотрим условие из знаменателя: $\sin 3x + 1 \neq 0$.

$\sin 3x \neq -1$

Это означает, что $3x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi j$, где $j \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, $x \neq -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi j}{3}$, $j \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо отфильтровать найденные корни, исключив те, которые не удовлетворяют этому условию.

1. Проверка серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Вычислим $\sin(3x)$: $\sin(3(\frac{\pi}{2} + \pi k)) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 3\pi k)$.

Если $k$ — четное число ($k=2p$), то $\sin(\frac{3\pi}{2} + 6\pi p) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Эти корни являются посторонними.

Если $k$ — нечетное число ($k=2p+1$), то $\sin(\frac{3\pi}{2} + 3\pi(2p+1)) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 3\pi) = \sin(\frac{9\pi}{2}) = 1$. Эти корни подходят.

Оставляем решения вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi(2p+1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi p = -\frac{\pi}{2} + 2\pi p$, где $p \in \mathbb{Z}$.

2. Проверка серии $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.

а) Для $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ имеем $3x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$.

$\sin(\frac{\pi}{2} + 3\pi n) = -1$ при нечетных $n$. Эти корни исключаем. Оставляем только те, где $n$ — четное ($n=2p$).

Получаем серию $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi p$, где $p \in \mathbb{Z}$.

б) Для $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$ имеем $3x = -\frac{\pi}{2} + 3\pi n$.

$\sin(-\frac{\pi}{2} + 3\pi n) = -1$ при четных $n$. Эти корни исключаем. Оставляем только те, где $n$ — нечетное ($n=2p+1$).

Получаем серию $x = -\frac{\pi}{6} + \pi(2p+1) = \frac{5\pi}{6} + 2\pi p$, где $p \in \mathbb{Z}$.

Объединяем все подходящие серии решений.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin x + \cos 4x - 2}{2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt{2}} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin x + \cos 4x - 2 = 0 \\ 2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt{2} \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы: $\sin x + \cos 4x = 2$.

Поскольку область значений функций синус и косинус — отрезок $[-1, 1]$, их сумма может быть равна 2 только в том случае, когда обе функции одновременно принимают свое максимальное значение, равное 1.

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \sin x = 1 \\ \cos 4x = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\sin x = 1$. Его решениями является серия $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти решения второму уравнению системы:

$\cos(4x) = \cos(4(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(2\pi + 8\pi k) = \cos(2\pi) = 1$.

Условие $\cos 4x = 1$ выполняется для всех $x$ из найденной серии.

Теперь проверим условие неравенства знаменателя: $2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt{2} \neq 0$, то есть $\cos \frac{x}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ в это условие:

$\frac{x}{2} = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Вычислим $\cos(\frac{x}{2}) = \cos(\frac{\pi}{4} + \pi k)$.

Если $k$ — четное число ($k=2n$, $n \in \mathbb{Z}$), то $\cos(\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. В этом случае знаменатель обращается в ноль, поэтому эти корни являются посторонними.

Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$, $n \in \mathbb{Z}$), то $\cos(\frac{\pi}{4} + \pi(2n+1)) = \cos(\frac{\pi}{4} + \pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значение не равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому эти корни являются решениями.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются значения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ только при нечетных $k$.

Запишем эту серию решений, подставив $k=2n+1$:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(2n+1) = \frac{\pi}{2} + 4\pi n + 2\pi = \frac{5\pi}{2} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{2} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.