Номер 33.35, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.35. Найдите множество пар чисел $(a; b)$, для каждой из которых равенство $a(\cos x-1) + b^2 = \cos(ax + b^2) - 1$ выполняется для всех $x$.

Данное равенство $a(\cos x - 1) + b^2 = \cos(ax + b^2) - 1$ должно выполняться для всех действительных значений $x$. Это означает, что оно является тождеством.

Поскольку равенство верно для всех $x$, оно должно быть верно и для конкретных значений $x$. Подставим в уравнение $x=0$:

$a(\cos 0 - 1) + b^2 = \cos(a \cdot 0 + b^2) - 1$

$a(1 - 1) + b^2 = \cos(b^2) - 1$

$b^2 = \cos(b^2) - 1$

Перепишем это уравнение в виде: $b^2 + 1 = \cos(b^2)$.

Рассмотрим это уравнение. Обозначим $y = b^2$. Так как $b$ - действительное число, то $y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y + 1 = \cos(y)$.

Мы знаем, что область значений функции косинуса - это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(y) \le 1$.

Следовательно, для левой части уравнения должно выполняться неравенство $y + 1 \le 1$, из которого следует, что $y \le 0$.

Таким образом, мы имеем два условия для $y$: $y \ge 0$ и $y \le 0$. Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, это $y=0$.

Проверим, является ли $y=0$ решением уравнения $y + 1 = \cos(y)$:

$0 + 1 = \cos(0)$

$1 = 1$

Равенство верное. Итак, единственное возможное значение для $y$ - это $0$. Так как $y=b^2$, получаем $b^2=0$, откуда $b=0$.

Теперь, когда мы нашли необходимое условие $b=0$, подставим его в исходное тождество:

$a(\cos x - 1) + 0^2 = \cos(ax + 0^2) - 1$

$a(\cos x - 1) = \cos(ax) - 1$

Это новое равенство также должно выполняться для всех $x$.

Рассмотрим поведение этого равенства при значениях $x$, близких к нулю. Для этого воспользуемся разложением косинуса в ряд Тейлора в окрестности нуля: $\cos u = 1 - \frac{u^2}{2!} + o(u^3)$.

Подставим разложения для $\cos x$ и $\cos(ax)$ в уравнение:

$a\left(\left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)\right) - 1\right) = \left(1 - \frac{(ax)^2}{2} + o(x^3)\right) - 1$

$a\left(-\frac{x^2}{2} + o(x^3)\right) = -\frac{a^2x^2}{2} + o(x^3)$

$-\frac{a x^2}{2} + o(x^3) = -\frac{a^2 x^2}{2} + o(x^3)$

Чтобы это равенство было тождеством, коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях должны совпадать. Приравнивая коэффициенты при $x^2$, получаем:

$-\frac{a}{2} = -\frac{a^2}{2}$

$a = a^2$

$a^2 - a = 0$

$a(a-1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $a$: $a=0$ или $a=1$.

Итак, мы получили два возможных набора параметров: $(a, b) = (0, 0)$ и $(a, b) = (1, 0)$. Проверим, являются ли они решениями, подставив их в исходное уравнение.

Для пары $(a,b)=(0,0)$ получаем: $0(\cos x - 1) + 0^2 = \cos(0 \cdot x + 0^2) - 1$, что упрощается до $0 = \cos(0) - 1$, или $0=0$. Это верное тождество, значит, пара $(0,0)$ является решением.

Для пары $(a,b)=(1,0)$ получаем: $1(\cos x - 1) + 0^2 = \cos(1 \cdot x + 0^2) - 1$, что упрощается до $\cos x - 1 = \cos x - 1$. Это также верное тождество, значит, пара $(1,0)$ является решением.

Других решений нет, так как наши рассуждения основывались на необходимых условиях.

Ответ: $\{(0,0), (1,0)\}$.