Номер 33.29, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.29. Решите уравнение:

1) $(5 + \frac{3}{\sin^2 x})(2 - \sin^6 x) = 7 + \cos 2y;$

2) $(\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x})^2 + (\cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x})^2 = 12 + \frac{1}{2}\sin y.$

1) $(5 + \frac{3}{\sin^2 x})(2 - \sin^6 x) = 7 + \cos 2y$

Данное уравнение содержит две переменные, $x$ и $y$. Решим его методом оценки, сравнивая области значений левой и правой частей уравнения.

Оценим правую часть (ПЧ): $7 + \cos 2y$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos 2y \le 1$.

Прибавим 7 ко всем частям неравенства:

$7 - 1 \le 7 + \cos 2y \le 7 + 1$

$6 \le 7 + \cos 2y \le 8$

Таким образом, область значений правой части уравнения — это отрезок $[6, 8]$.

Оценим левую часть (ЛЧ): $(5 + \frac{3}{\sin^2 x})(2 - \sin^6 x)$.

Заметим, что в знаменателе стоит $\sin^2 x$, следовательно $\sin x \neq 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin^2 x$. Поскольку $\sin x \neq 0$, то $0 < \sin^2 x \le 1$, следовательно $t \in (0, 1]$.

Рассмотрим функцию $f(t) = (5 + \frac{3}{t})(2 - t^3)$ на промежутке $t \in (0, 1]$.

$f(t) = 10 - 5t^3 + \frac{6}{t} - 3t^2$.

Найдем производную этой функции, чтобы исследовать ее на монотонность:

$f'(t) = -15t^2 - \frac{6}{t^2} - 6t = -(15t^2 + 6t + \frac{6}{t^2})$.

На промежутке $(0, 1]$ все слагаемые в скобках положительны ($t^2 > 0$, $t > 0$, $\frac{6}{t^2} > 0$), поэтому вся скобка положительна. Следовательно, $f'(t) < 0$ для всех $t \in (0, 1]$.

Это означает, что функция $f(t)$ является убывающей на всем промежутке $(0, 1]$.

Наименьшее значение убывающая функция принимает на правом конце промежутка, то есть при $t=1$.

$f_{min} = f(1) = (5 + \frac{3}{1})(2 - 1^3) = (5+3)(2-1) = 8 \cdot 1 = 8$.

Таким образом, для левой части уравнения справедливо неравенство: ЛЧ $\ge 8$.

Сопоставим результаты:

ЛЧ $\ge 8$

ПЧ $\le 8$

Равенство ЛЧ = ПЧ возможно только в том случае, когда обе части равны 8.

$(5 + \frac{3}{\sin^2 x})(2 - \sin^6 x) = 8$

$7 + \cos 2y = 8$

Решим полученную систему уравнений.

Из первого уравнения следует, что оно достигает своего минимального значения, а это происходит при $t = \sin^2 x = 1$.

$\sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения:

$\cos 2y = 1 \implies 2y = 2\pi n \implies y = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; y = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $(\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x})^2 + (\cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x})^2 = 12 + \frac{1}{2}\sin y$

Как и в предыдущем задании, применим метод оценки для решения уравнения с двумя переменными.

Оценим правую часть (ПЧ): $12 + \frac{1}{2}\sin y$.

Область значений синуса: $-1 \le \sin y \le 1$.

Умножим на $\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin y \le \frac{1}{2}$.

Прибавим 12: $12 - \frac{1}{2} \le 12 + \frac{1}{2}\sin y \le 12 + \frac{1}{2}$.

$11.5 \le 12 + \frac{1}{2}\sin y \le 12.5$.

Таким образом, область значений правой части — это отрезок $[11.5, 12.5]$.

Оценим левую часть (ЛЧ): $(\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x})^2 + (\cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x})^2$.

Из вида уравнения следует, что $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$.

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

ЛЧ = $(\sin^4 x + 2 + \frac{1}{\sin^4 x}) + (\cos^4 x + 2 + \frac{1}{\cos^4 x}) = (\sin^4 x + \cos^4 x) + (\frac{1}{\sin^4 x} + \frac{1}{\cos^4 x}) + 4$.

Используем известные тождества: $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.

$\frac{1}{\sin^4 x} + \frac{1}{\cos^4 x} = \frac{\cos^4 x + \sin^4 x}{\sin^4 x \cos^4 x} = \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^2 x \cos^2 x)^2}$.

Подставим это в выражение для ЛЧ:

ЛЧ = $(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) + \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^2 x \cos^2 x)^2} + 4 = 5 - 2\sin^2 x \cos^2 x + \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^2 x \cos^2 x)^2}$.

Сделаем замену: $z = \sin^2 x \cos^2 x$.

Преобразуем $z$: $z = (\sin x \cos x)^2 = (\frac{1}{2}\sin(2x))^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Так как $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, то $\sin(2x) \neq 0$. Значит $\sin^2(2x) \in (0, 1]$.

Тогда $z = \frac{1}{4}\sin^2(2x) \in (0, \frac{1}{4}]$.

Рассмотрим функцию $h(z) = 5 - 2z + \frac{1-2z}{z^2} = 5 - 2z + \frac{1}{z^2} - \frac{2}{z}$ на промежутке $z \in (0, \frac{1}{4}]$.

Найдем ее производную: $h'(z) = -2 - \frac{2}{z^3} + \frac{2}{z^2} = \frac{-2z^3 + 2z - 2}{z^3} = -\frac{2(z^3 - z + 1)}{z^3}$.

Исследуем знак выражения $p(z) = z^3 - z + 1$ на $(0, \frac{1}{4}]$. Производная $p'(z) = 3z^2 - 1$. На интервале $(0, \frac{1}{4}]$, $p'(z)$ отрицательна, значит $p(z)$ убывает. Значение на правом конце $p(\frac{1}{4}) = (\frac{1}{4})^3 - \frac{1}{4} + 1 = \frac{1-16+64}{64} = \frac{49}{64} > 0$. Так как функция убывает и на правом конце положительна, она положительна на всем интервале $(0, \frac{1}{4}]$.

Следовательно, $h'(z) = -\frac{2(\text{положительное число})}{(\text{положительное число})} < 0$. Функция $h(z)$ убывает на $(0, \frac{1}{4}]$.

Ее наименьшее значение достигается при $z = \frac{1}{4}$.

$h_{min} = h(\frac{1}{4}) = 5 - 2(\frac{1}{4}) + \frac{1}{(\frac{1}{4})^2} - \frac{2}{\frac{1}{4}} = 5 - \frac{1}{2} + 16 - 8 = 12.5$.

Таким образом, для левой части справедливо неравенство: ЛЧ $\ge 12.5$.

Сопоставим результаты:

ЛЧ $\ge 12.5$

ПЧ $\le 12.5$

Равенство возможно, только если обе части равны 12.5.

$(\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x})^2 + (\cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x})^2 = 12.5$

$12 + \frac{1}{2}\sin y = 12.5$

Решим систему. Первое уравнение выполняется, когда ЛЧ принимает минимальное значение, то есть при $z = \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}$.

$\frac{1}{4}\sin^2(2x) = \frac{1}{4} \implies \sin^2(2x) = 1 \implies \sin(2x) = \pm 1$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения:

$\frac{1}{2}\sin y = 12.5 - 12 = 0.5 \implies \sin y = 1$.

$y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}; y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.