Номер 33.26, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.26. Решите уравнение:

1) $\sin 5x + \sin x = 2 + \cos^2 x;$

2) $\sqrt{5 + \sin^2 3x} = \sin x + 2\cos x.$

1) $sin(5x) + sin(x) = 2 + cos^2(x)$

Для решения этого уравнения воспользуемся методом оценки. Оценим диапазон значений левой и правой частей уравнения.

Левая часть: $sin(5x) + sin(x)$.
Поскольку $-1 \le sin(5x) \le 1$ и $-1 \le sin(x) \le 1$, их сумма не может быть больше, чем $1 + 1 = 2$.
Следовательно, $sin(5x) + sin(x) \le 2$.

Правая часть: $2 + cos^2(x)$.
Поскольку $0 \le cos^2(x) \le 1$, значение правой части находится в диапазоне от $2+0=2$ до $2+1=3$.
Следовательно, $2 + cos^2(x) \ge 2$.

Из оценок следует, что равенство $sin(5x) + sin(x) = 2 + cos^2(x)$ возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны 2. Это приводит к системе уравнений:

$$ \begin{cases} sin(5x) + sin(x) = 2 \\ 2 + cos^2(x) = 2 \end{cases} $$

Рассмотрим второе уравнение системы:$2 + cos^2(x) = 2$
$cos^2(x) = 0$
$cos(x) = 0$

Рассмотрим первое уравнение системы:$sin(5x) + sin(x) = 2$
Это равенство достигается только тогда, когда оба слагаемых равны своему максимальному значению, то есть 1.$$ \begin{cases} sin(5x) = 1 \\ sin(x) = 1 \end{cases} $$

Теперь необходимо найти решения, удовлетворяющие обоим условиям: $cos(x) = 0$ и $sin(x) = 1$. Из основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, если $sin(x) = 1$, то $1^2 + cos^2(x) = 1$, откуда $cos^2(x) = 0$ и $cos(x) = 0$. Таким образом, достаточно решить уравнение $sin(x) = 1$ и проверить, удовлетворяют ли его корни условию $sin(5x) = 1$.

Решаем уравнение $sin(x) = 1$:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Подставляем найденные значения $x$ в условие $sin(5x) = 1$:
$sin(5(\frac{\pi}{2} + 2\pi n)) = sin(\frac{5\pi}{2} + 10\pi n) = sin(\frac{5\pi}{2}) = sin(\frac{4\pi+\pi}{2}) = sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Условие выполняется. Следовательно, решения исходного уравнения — это все $x$, для которых $sin(x) = 1$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

2) $\sqrt{5 + sin^2(3x)} = sin(x) + 2cos(x)$

Для решения этого уравнения также воспользуемся методом оценки.

Левая часть: $\sqrt{5 + sin^2(3x)}$.
Поскольку $0 \le sin^2(3x) \le 1$, подкоренное выражение $5 + sin^2(3x)$ находится в диапазоне $[5, 6]$.
Следовательно, значение левой части находится в диапазоне $[\sqrt{5}, \sqrt{6}]$.

Правая часть: $sin(x) + 2cos(x)$.
Преобразуем это выражение по формуле вспомогательного угла: $a \sin(x) + b \cos(x) = R \sin(x + \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.
Здесь $a=1, b=2$, поэтому $R = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
Таким образом, $sin(x) + 2cos(x) = \sqrt{5} \sin(x + \alpha)$.
Диапазон значений этого выражения равен $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

Сопоставим диапазоны значений обеих частей уравнения:
Левая часть: $\sqrt{5 + sin^2(3x)} \ge \sqrt{5}$.
Правая часть: $sin(x) + 2cos(x) \le \sqrt{5}$.

Равенство возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны $\sqrt{5}$. Это приводит к системе уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{5 + sin^2(3x)} = \sqrt{5} \\ sin(x) + 2cos(x) = \sqrt{5} \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы:
$\sqrt{5 + sin^2(3x)} = \sqrt{5}$
$5 + sin^2(3x) = 5$
$sin^2(3x) = 0$
$sin(3x) = 0$
Отсюда $3x = \pi n$, то есть $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

Решим второе уравнение системы:
$sin(x) + 2cos(x) = \sqrt{5}$
Это уравнение равносильно $\sqrt{5} \sin(x + \alpha) = \sqrt{5}$, то есть $\sin(x + \alpha) = 1$. Равенство достигается, когда выражение $sin(x) + 2cos(x)$ принимает свое максимальное значение. Это происходит при условии, что $sin(x) = \frac{a}{R} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ и $cos(x) = \frac{b}{R} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Из этих соотношений следует, что $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} = \frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.

Теперь необходимо проверить, существуют ли такие $x$, которые одновременно удовлетворяют обоим условиям: $x = \frac{\pi n}{3}$ и $tg(x) = \frac{1}{2}$.
Найдем значения тангенса для $x = \frac{\pi n}{3}$ при различных целых $n$:
- если $n$ кратно 3 ($n=3k$), то $x = \pi k$, $tg(x) = 0$.- если $n=1, 4, 7, ...$, то $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, ...$, $tg(x) = \sqrt{3}$.- если $n=2, 5, 8, ...$, то $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, ...$, $tg(x) = -\sqrt{3}$.- если $n$ такое, что $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, тангенс не определен.
Ни одно из возможных значений $tg(\frac{\pi n}{3})$ не равно $\frac{1}{2}$, так как $\frac{1}{2}$ является рациональным числом, а значения $tg(\frac{\pi n}{3})$ либо рациональны (0), либо иррациональны ($\pm\sqrt{3}$).Следовательно, множества решений для первого и второго уравнений системы не пересекаются.

Ответ: решений нет.