Номер 33.23, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.23. Решите уравнение:

1) $\cos^7 x + \sin^4 x = 1$;

2) $\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x} = 1$.

1) Решим уравнение $ \cos^7 x + \sin^4 x = 1 $.

Заметим, что для любых действительных значений $ x $ выполняются неравенства $ \cos x \le 1 $ и $ \sin^2 x \le 1 $. Поскольку $ \cos^2 x \ge 0 $, мы можем утверждать, что $ \cos^5 x \le 1 $. Умножив обе части этого неравенства на неотрицательную величину $ \cos^2 x $, получим $ \cos^7 x \le \cos^2 x $. Также очевидно, что $ \sin^4 x \le \sin^2 x $, поскольку $ \sin^2 x \in [0, 1] $.

Сложив эти два неравенства, получаем:

$ \cos^7 x + \sin^4 x \le \cos^2 x + \sin^2 x $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $, мы приходим к выводу, что:

$ \cos^7 x + \sin^4 x \le 1 $

В исходном уравнении дано, что сумма равна единице. Равенство в данном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда оба неравенства, которые мы складывали, также обращаются в равенства. То есть должна выполняться система уравнений:

$ \begin{cases} \cos^7 x = \cos^2 x \\ \sin^4 x = \sin^2 x \end{cases} $

Решим первое уравнение системы: $ \cos^7 x = \cos^2 x $.

$ \cos^2 x (\cos^5 x - 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

$ \cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0 $

$ \cos^5 x - 1 = 0 \implies \cos^5 x = 1 \implies \cos x = 1 $

Теперь рассмотрим эти два случая.

Случай 1: $ \cos x = 0 $.

В этом случае из основного тригонометрического тождества следует, что $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - 0 = 1 $. Подставим это значение во второе уравнение системы $ \sin^4 x = \sin^2 x $: $ 1^2 = 1 $, что является верным равенством. Следовательно, все значения $ x $, для которых $ \cos x = 0 $, являются решениями.

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $ \cos x = 1 $.

В этом случае $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - 1 = 0 $. Подставим это значение во второе уравнение системы $ \sin^4 x = \sin^2 x $: $ 0^2 = 0 $, что также является верным равенством. Следовательно, все значения $ x $, для которых $ \cos x = 1 $, являются решениями.

$ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = 2\pi k; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x} = 1 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку подкоренные выражения должны быть неотрицательными, имеем систему неравенств:

$ \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \cos x \ge 0 \end{cases} $

Эта система выполняется, когда $ x $ находится в первой четверти координатной плоскости, включая ее границы. То есть, $ 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Для решения уравнения сделаем замену. Пусть $ a = \sqrt{\sin x} $ и $ b = \sqrt{\cos x} $. По ОДЗ, $ a \ge 0 $ и $ b \ge 0 $.

Исходное уравнение принимает вид: $ a + b = 1 $.

Из замены имеем $ a^2 = \sin x $ и $ b^2 = \cos x $. Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем еще одно уравнение для $ a $ и $ b $:

$ (a^2)^2 + (b^2)^2 = 1 \implies a^4 + b^4 = 1 $.

Теперь решим систему уравнений:

$ \begin{cases} a + b = 1 \\ a^4 + b^4 = 1 \end{cases} $ при условиях $ a \ge 0, b \ge 0 $.

Из первого уравнения выразим $ b = 1 - a $ и подставим во второе:

$ a^4 + (1 - a)^4 = 1 $

Раскроем скобки: $ (1 - a)^4 = 1 - 4a + 6a^2 - 4a^3 + a^4 $.

$ a^4 + 1 - 4a + 6a^2 - 4a^3 + a^4 = 1 $

$ 2a^4 - 4a^3 + 6a^2 - 4a = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2a $:

$ 2a(a^3 - 2a^2 + 3a - 2) = 0 $

Это уравнение дает два возможных случая:

1. $ 2a = 0 \implies a = 0 $.

2. $ a^3 - 2a^2 + 3a - 2 = 0 $.

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $ a = 0 $.

Если $ a = 0 $, то $ b = 1 - a = 1 $. Это решение удовлетворяет условиям $ a \ge 0, b \ge 0 $.

Возвращаемся к исходной переменной: $ \sqrt{\sin x} = a = 0 \implies \sin x = 0 $ и $ \sqrt{\cos x} = b = 1 \implies \cos x = 1 $. Решением системы $ \begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x = 1 \end{cases} $ является $ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $. Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $ a^3 - 2a^2 + 3a - 2 = 0 $.

Подбором находим корень $ a = 1 $: $ 1^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0 $.

Разделим многочлен $ (a^3 - 2a^2 + 3a - 2) $ на $ (a - 1) $, получим $ (a - 1)(a^2 - a + 2) = 0 $. Квадратное уравнение $ a^2 - a + 2 = 0 $ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0 $.

Таким образом, единственным действительным решением этого кубического уравнения является $ a = 1 $.

Если $ a = 1 $, то $ b = 1 - a = 0 $. Это решение также удовлетворяет условиям $ a \ge 0, b \ge 0 $.

Возвращаемся к исходной переменной: $ \sqrt{\sin x} = a = 1 \implies \sin x = 1 $ и $ \sqrt{\cos x} = b = 0 \implies \cos x = 0 $. Решением системы $ \begin{cases} \sin x = 1 \\ \cos x = 0 \end{cases} $ является $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $. Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = 2\pi k; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.