Номер 33.18, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.18. Решите уравнение:

1) $\cos 3x - \sin x = -\sqrt{3}(\sin 3x - \cos x);$

2) $(\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x)^2 - 5 = \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right).$

1)

Исходное уравнение: $\cos3x - \sin x = -\sqrt{3}(\sin3x - \cos x)$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$\cos3x - \sin x = -\sqrt{3}\sin3x + \sqrt{3}\cos x$

Сгруппируем слагаемые с аргументами $3x$ в левой части, а с аргументом $x$ — в правой:

$\cos3x + \sqrt{3}\sin3x = \sin x + \sqrt{3}\cos x$

Преобразуем обе части уравнения, используя метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ можно представить как $R\cos(\alpha - \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\varphi = \frac{a}{R}$, $\sin\varphi = \frac{b}{R}$.

Для левой части: $\cos3x + \sqrt{3}\sin3x$. Здесь $a=1$, $b=\sqrt{3}$.

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

$2(\frac{1}{2}\cos3x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin3x) = 2(\cos\frac{\pi}{3}\cos3x + \sin\frac{\pi}{3}\sin3x) = 2\cos(3x - \frac{\pi}{3})$.

Для правой части: $\sqrt{3}\cos x + \sin x$. Здесь $a=\sqrt{3}$, $b=1$.

$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

$2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x) = 2(\cos\frac{\pi}{6}\cos x + \sin\frac{\pi}{6}\sin x) = 2\cos(x - \frac{\pi}{6})$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$2\cos(3x - \frac{\pi}{3}) = 2\cos(x - \frac{\pi}{6})$

$\cos(3x - \frac{\pi}{3}) = \cos(x - \frac{\pi}{6})$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$3x - \frac{\pi}{3} = x - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

или

$3x - \frac{\pi}{3} = -(x - \frac{\pi}{6}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Решим первое уравнение:

$3x - x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$2x = \frac{2\pi - \pi}{6} + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Решим второе уравнение:

$3x - \frac{\pi}{3} = -x + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x + x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{2\pi + \pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Исходное уравнение: $(\sin2x + \sqrt{3}\cos2x)^2 - 5 = \cos(\frac{\pi}{6} - 2x)$.

Преобразуем выражение в скобках с помощью метода вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ можно представить как $R\sin(\alpha + \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\varphi = \frac{a}{R}$, $\sin\varphi = \frac{b}{R}$.

Для $\sin2x + \sqrt{3}\cos2x$: $a=1, b=\sqrt{3}$.

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

$\sin2x + \sqrt{3}\cos2x = 2(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x) = 2(\cos\frac{\pi}{3}\sin2x + \sin\frac{\pi}{3}\cos2x) = 2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$.

Преобразуем правую часть уравнения с помощью формулы приведения: $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)$.

$\cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - 2x)) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2x) = \sin(\frac{3\pi - \pi}{6} + 2x) = \sin(\frac{2\pi}{6} + 2x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(2\sin(2x+\frac{\pi}{3}))^2 - 5 = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$

$4\sin^2(2x+\frac{\pi}{3}) - 5 = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$. Учитывая, что область значений синуса $[-1; 1]$, имеем $|t| \le 1$.

$4t^2 - t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$.

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 9}{8} = \frac{-8}{8} = -1$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 9}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

Корень $t_2 = \frac{5}{4}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как $\frac{5}{4} > 1$.

Следовательно, подходит только $t_1 = -1$.

Выполним обратную замену:

$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения.

$2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = -\frac{3\pi + 2\pi}{6} + 2\pi n$

$2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

$x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.