Номер 33.11, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.11. Решите уравнение:

1) $2\cos\frac{x^2+2x}{6} = x^2+4x+6$;

2) $3\cos x + 4\sin x = x^2-6x+14$.

1) $2\cos\frac{x^2+2x}{6} = x^2+4x+6$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки. Оценим левую и правую части уравнения.

Левая часть: $2\cos\frac{x^2+2x}{6}$

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого аргумента $\alpha$ выполняется неравенство $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Применительно к нашему случаю:

$-1 \le \cos\frac{x^2+2x}{6} \le 1$

Умножим все части неравенства на 2:

$-2 \le 2\cos\frac{x^2+2x}{6} \le 2$

Таким образом, наибольшее значение, которое может принимать левая часть уравнения, равно 2.

Правая часть: $x^2+4x+6$

Правая часть представляет собой квадратичную функцию $y(x) = x^2+4x+6$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

$x_0 = -\frac{4}{2\cdot1} = -2$

Найдем ординату вершины (наименьшее значение функции), подставив $x_0 = -2$ в выражение:

$y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$

Таким образом, наименьшее значение, которое может принимать правая часть уравнения, равно 2. То есть, $x^2+4x+6 \ge 2$.

Вывод

Мы получили, что левая часть уравнения не превышает 2 ($LHS \le 2$), а правая часть не меньше 2 ($RHS \ge 2$). Равенство между ними возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 2.

Это приводит нас к системе уравнений:

$\begin{cases} 2\cos\frac{x^2+2x}{6} = 2 \\ x^2+4x+6 = 2 \end{cases}$

Решим второе уравнение, так как оно проще:

$x^2+4x+6 = 2$

$x^2+4x+4 = 0$

$(x+2)^2 = 0$

Отсюда получаем единственное решение $x = -2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли это значение первому уравнению системы. Подставим $x=-2$ в первое уравнение:

$2\cos\frac{(-2)^2+2(-2)}{6} = 2$

$\cos\frac{4-4}{6} = 1$

$\cos\frac{0}{6} = 1$

$\cos(0) = 1$

$1=1$

Равенство верное. Следовательно, $x=-2$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $-2$.

2) $3\cos x + 4\sin x = x^2 - 6x + 14$

Так же, как и в предыдущем задании, применим метод оценки левой и правой частей уравнения.

Левая часть: $3\cos x + 4\sin x$

Выражение вида $a\cos x + b\sin x$ можно преобразовать с помощью введения вспомогательного угла. Максимальное и минимальное значения такого выражения равны $\sqrt{a^2+b^2}$ и $-\sqrt{a^2+b^2}$ соответственно.

В нашем случае $a=3$ и $b=4$.

$\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

Следовательно, область значений левой части уравнения — отрезок $[-5, 5]$.

$-5 \le 3\cos x + 4\sin x \le 5$

Наибольшее значение левой части равно 5.

Правая часть: $x^2 - 6x + 14$

Правая часть — это квадратичная функция $y(x) = x^2 - 6x + 14$. График — парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), поэтому она имеет наименьшее значение в вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2\cdot1} = 3$

Найдем наименьшее значение функции, подставив $x_0 = 3$:

$y_0 = 3^2 - 6(3) + 14 = 9 - 18 + 14 = 5$

Следовательно, наименьшее значение правой части равно 5. То есть, $x^2 - 6x + 14 \ge 5$.

Вывод

Мы установили, что левая часть уравнения не превышает 5 ($LHS \le 5$), а правая часть не меньше 5 ($RHS \ge 5$). Равенство может быть достигнуто только тогда, когда обе части уравнения равны 5.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 3\cos x + 4\sin x = 5 \\ x^2 - 6x + 14 = 5 \end{cases}$

Решим второе уравнение:

$x^2 - 6x + 14 = 5$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

Единственное решение этого уравнения: $x = 3$.

Теперь проверим, является ли $x=3$ решением первого уравнения системы. Подставим это значение в первое уравнение:

$3\cos 3 + 4\sin 3 = 5$

Разделим обе части на 5:

$\frac{3}{5}\cos 3 + \frac{4}{5}\sin 3 = 1$

Это равенство имеет вид $\cos\alpha\cos x + \sin\alpha\sin x = 1$, или $\cos(x-\alpha)=1$, где $\cos\alpha=3/5$ и $\sin\alpha=4/5$.

Поскольку $\cos\alpha > 0$ и $\sin\alpha > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \pi/2$).

Рассмотрим значение $x=3$. Так как $\pi/2 \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$, то угол в 3 радиана находится во второй четверти. Во второй четверти косинус отрицателен ($\cos 3 < 0$), а синус положителен ($\sin 3 > 0$).

Для выполнения условия $\cos x = 3/5$ и $\sin x = 4/5$ угол $x$ должен находиться в первой четверти. Так как $x=3$ находится во второй четверти, это значение не может удовлетворять первому уравнению.

Таким образом, значение $x=3$, которое обращает правую часть уравнения в 5, не обращает левую часть в 5. Система не имеет решений, а значит, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.