Номер 33.6, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.6. Решите уравнение:

1) $ \sin 2x + 2\sin x = 0; $

2) $ \sin 2x - \cos x = 2\sin x - 1; $

3) $ 1 - \cos 8x = \sin 4x; $

4) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0; $

5) $ \cos 9x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x = 0; $

6) $ \sqrt{2} \cos 5x + \sin 3x - \sin 7x = 0. $

1) $ \sin 2x + 2\sin x = 0 $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos x + 2\sin x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2\sin x $ за скобки:

$ 2\sin x (\cos x + 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$ \sin x = 0 $ или $ \cos x + 1 = 0 $

Решим первое уравнение:

$ \sin x = 0 $

$ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение:

$ \cos x = -1 $

$ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Заметим, что множество решений второго уравнения ($ k \in \mathbb{Z} $) является подмножеством решений первого уравнения (при нечетных $ n $). Следовательно, общее решение можно записать в виде $ x = \pi n $.

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin 2x - \cos x = 2\sin x - 1 $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos x - \cos x = 2\sin x - 1 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 2\sin x \cos x - \cos x - 2\sin x + 1 = 0 $

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$ (\cos x (2\sin x - 1)) - (2\sin x - 1) = 0 $

$ (\cos x - 1)(2\sin x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$ \cos x - 1 = 0 $ или $ 2\sin x - 1 = 0 $

Решим первое уравнение:

$ \cos x = 1 $

$ x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение:

$ \sin x = \frac{1}{2} $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = 2\pi n; \ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z} $

3) $ 1 - \cos 8x = \sin 4x $

Используем формулу понижения степени $ 1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha $. В данном случае $ \alpha = 4x $:

$ 2\sin^2(4x) = \sin 4x $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 2\sin^2(4x) - \sin 4x = 0 $

Вынесем $ \sin 4x $ за скобки:

$ \sin 4x (2\sin 4x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$ \sin 4x = 0 $ или $ 2\sin 4x - 1 = 0 $

Решим первое уравнение:

$ \sin 4x = 0 $

$ 4x = \pi n $

$ x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение:

$ \sin 4x = \frac{1}{2} $

$ 4x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}; \ x = (-1)^k \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, n, k \in \mathbb{Z} $

4) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 $

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ (\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = 0 $

$ 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + \sin 2x = 0 $

$ 2\sin 2x \cos x + \sin 2x = 0 $

Вынесем $ \sin 2x $ за скобки:

$ \sin 2x (2\cos x + 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$ \sin 2x = 0 $ или $ 2\cos x + 1 = 0 $

Решим первое уравнение:

$ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n $

$ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение:

$ \cos x = -\frac{1}{2} $

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}; \ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z} $

5) $ \cos 9x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x = 0 $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ (\cos 9x - \cos 7x) + (\cos 3x - \cos x) = 0 $

$ -2\sin\frac{9x+7x}{2}\sin\frac{9x-7x}{2} - 2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 0 $

$ -2\sin 8x \sin x - 2\sin 2x \sin x = 0 $

Вынесем общий множитель $ -2\sin x $ за скобки:

$ -2\sin x (\sin 8x + \sin 2x) = 0 $

Уравнение распадается на два:

$ \sin x = 0 $ или $ \sin 8x + \sin 2x = 0 $

Решим первое уравнение:

$ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение, используя формулу суммы синусов:

$ \sin 8x + \sin 2x = 0 $

$ 2\sin\frac{8x+2x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} = 0 $

$ 2\sin 5x \cos 3x = 0 $

Это уравнение распадается еще на два:

$ \sin 5x = 0 $ или $ \cos 3x = 0 $

Решаем $ \sin 5x = 0 $:

$ 5x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $

Решаем $ \cos 3x = 0 $:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $

Заметим, что решения $ x = \pi n $ являются частью решений $ x = \frac{\pi k}{5} $ (когда $ k $ кратно 5). Таким образом, общее решение - это совокупность решений $ x = \frac{\pi k}{5} $ и $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{5}; \ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, k, m \in \mathbb{Z} $

6) $ \sqrt{2}\cos 5x + \sin 3x - \sin 7x = 0 $

Перепишем уравнение, перенеся синусы в правую часть:

$ \sqrt{2}\cos 5x = \sin 7x - \sin 3x $

Применим формулу разности синусов $ \sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $ к правой части:

$ \sin 7x - \sin 3x = 2\cos\frac{7x+3x}{2}\sin\frac{7x-3x}{2} = 2\cos 5x \sin 2x $

Подставим обратно в уравнение:

$ \sqrt{2}\cos 5x = 2\cos 5x \sin 2x $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:

$ \sqrt{2}\cos 5x - 2\cos 5x \sin 2x = 0 $

$ \cos 5x (\sqrt{2} - 2\sin 2x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$ \cos 5x = 0 $ или $ \sqrt{2} - 2\sin 2x = 0 $

Решим первое уравнение:

$ \cos 5x = 0 $

$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение:

$ 2\sin 2x = \sqrt{2} $

$ \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ 2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}; \ x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, n, k \in \mathbb{Z} $