Номер 32.35, страница 241 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.35. При каких значениях параметра $a$ уравнения $\sin x = 2\sin^2 x$ и $\sin 3x = (a+1)\sin x - 2(a-1)\sin^2 x$ равносильны?

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Сначала решим первое уравнение: $\sin x = 2\sin^2 x$. Перенесем все члены в одну сторону: $2\sin^2 x - \sin x = 0$. Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x (2\sin x - 1) = 0$. Отсюда получаем, что решениями первого уравнения являются все $x$, для которых $\sin x = 0$ или $\sin x = 1/2$.

Теперь преобразуем второе уравнение: $\sin 3x = (a+1)\sin x - 2(a-1)\sin^2 x$. Используем формулу синуса тройного угла $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ и подставим её в уравнение:$3\sin x - 4\sin^3 x = (a+1)\sin x - 2(a-1)\sin^2 x$.

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые:$4\sin^3 x - 2(a-1)\sin^2 x + (a+1-3)\sin x = 0$,$4\sin^3 x - 2(a-1)\sin^2 x + (a-2)\sin x = 0$.

Вынесем $\sin x$ за скобки:$\sin x (4\sin^2 x - 2(a-1)\sin x + a-2) = 0$.

Это уравнение равносильно совокупности: $\sin x = 0$ или $4\sin^2 x - 2(a-1)\sin x + a-2 = 0$.

Для того чтобы исходные уравнения были равносильны, множество решений второго уравнения должно совпадать с множеством решений первого. Это означает, что совокупность значений $\sin x$, удовлетворяющих второму уравнению, должна приводить к тому же самому множеству корней $x$, что и совокупность $\sin x = 0$ или $\sin x = 1/2$.

Обозначим $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$. Тогда второе уравнение приводит к совокупности $t=0$ или $4t^2 - 2(a-1)t + a-2 = 0$. Мы требуем, чтобы множество значений $t$, удовлетворяющих этой совокупности и лежащих в отрезке $[-1, 1]$, было в точности $\{0, 1/2\}$.

Рассмотрим квадратное уравнение $4t^2 - 2(a-1)t + a-2 = 0$. Проверим, является ли $t=1/2$ его корнем:$4(1/2)^2 - 2(a-1)(1/2) + a-2 = 4(1/4) - (a-1) + a-2 = 1 - a + 1 + a - 2 = 0$. Так как мы получили верное равенство $0=0$, $t=1/2$ является корнем этого уравнения при любом $a$.

Разложим левую часть квадратного уравнения на множители, зная один из корней:$4t^2 - 2(a-1)t + a-2 = (2t-1)(2t - (a-2))$. Тогда квадратное уравнение имеет корни $t_1=1/2$ и $t_2 = (a-2)/2$.

Следовательно, второе исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:$\sin x = 0$, $\sin x = 1/2$ и $\sin x = (a-2)/2$.

Чтобы эта совокупность была равносильна совокупности $\sin x = 0$ и $\sin x = 1/2$, необходимо, чтобы уравнение $\sin x = (a-2)/2$ либо не добавляло новых решений, либо его решения уже содержались в решениях первых двух уравнений. Это возможно в следующих случаях:

1. Уравнение $\sin x = (a-2)/2$ не имеет решений. Это происходит, когда $|(a-2)/2| > 1$, то есть $|a-2| > 2$. Это неравенство равносильно совокупности $a-2 > 2$ или $a-2 < -2$, откуда получаем $a > 4$ или $a < 0$.

2. Значение $(a-2)/2$ совпадает с одним из уже имеющихся значений $0$ или $1/2$. Если $(a-2)/2 = 0$, то $a-2=0$, откуда $a=2$. Если $(a-2)/2 = 1/2$, то $a-2=1$, откуда $a=3$.

Объединяя все найденные значения параметра $a$, получаем итоговый результат.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup \{2\} \cup \{3\} \cup (4, \infty)$.