Номер 32.33, страница 241 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.33. Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение $\sin^2x - \left(a + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\sin x + \frac{a\sqrt{2}}{2} = 0$ имеет на промежутке $\left[0; \frac{4\pi}{3}\right]$:

1) два корня;

2) три корня;

3) не менее трёх корней.

Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Сделаем замену $t = \sin x$. Уравнение примет вид:$t^2 - \left(a + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)t + \frac{a\sqrt{2}}{2} = 0$.

Это стандартное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна $a + \frac{\sqrt{2}}{2}$, а их произведение равно $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Отсюда следует, что корнями уравнения являются $t_1 = a$ и $t_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность двух уравнений:$\sin x = a$ или $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдём количество корней каждого уравнения на заданном промежутке $x \in \left[0; \frac{4\pi}{3}\right]$.

Сначала решим уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $\left[0; \frac{4\pi}{3}\right]$. Оно имеет два корня: $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Оба корня принадлежат указанному промежутку, поэтому это уравнение всегда дает два различных корня.

Теперь проанализируем число корней уравнения $\sin x = a$ на промежутке $\left[0; \frac{4\pi}{3}\right]$. На этом промежутке функция $\sin x$ принимает все значения из отрезка $\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right]$.

Число корней уравнения $\sin x = a$ зависит от значения $a$:

- Если $a < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $a > 1$, уравнение $\sin x = a$ не имеет корней на данном промежутке.

- Если $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $a = 1$, уравнение имеет один корень ($x = \frac{4\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ соответственно).

- Если $a \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; 0\right)$, уравнение имеет один корень.

- Если $a \in [0, 1)$, уравнение имеет два корня.

Общее число корней исходного уравнения равно сумме корней этих двух уравнений, при этом нужно учесть случай, когда их корни совпадают. Это происходит при $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проанализируем общее количество корней в зависимости от $a$:

- Если $a < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $a > 1$, уравнение $\sin x = a$ не имеет корней. Общее число корней равно 2.

- Если $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, уравнения совпадают, и мы имеем 2 корня.

- Если $a \in \left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \cup \{1\}$, уравнение $\sin x = a$ имеет один корень, не совпадающий с корнями уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее число корней: $2 + 1 = 3$.

- Если $a \in [0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$, уравнение $\sin x = a$ имеет два корня, не совпадающих с корнями уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее число корней: $2 + 2 = 4$.

1) два корня

Уравнение имеет два корня, если уравнение $\sin x = a$ либо не имеет решений на данном промежутке, либо его решения совпадают с решениями уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это происходит при $a < -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $a > 1$, или при $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup \{\frac{\sqrt{2}}{2}\} \cup (1; +\infty)$.

2) три корня

Уравнение имеет три корня, если уравнение $\sin x = a$ имеет ровно один корень на данном промежутке, и этот корень не совпадает с корнями уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это выполняется при $a \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ и при $a = 1$.

Ответ: $a \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}; 0) \cup \{1\}$.

3) не менее трёх корней

Уравнение имеет не менее трёх корней, если оно имеет три или четыре корня. Это соответствует случаям, когда уравнение $\sin x = a$ имеет один или два корня, отличных от корней уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это выполняется для всех $a$ из отрезка $[-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1]$, за исключением значения $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$, при котором общее число корней равно двум.

Ответ: $a \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}; 1]$.