Номер 32.26, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.26. Решите уравнение:

1) $\sqrt{10 - 18\cos x} = 6\cos x - 2;$

2) $\sqrt{3 + 4\cos 2x} = \sqrt{2}\cos x.$

Дано уравнение $\sqrt{10 - 18\cos x} = 6\cos x - 2$.
Это иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$, которое равносильно системе:
$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$
В нашем случае:
$\begin{cases} 10 - 18\cos x = (6\cos x - 2)^2 \\ 6\cos x - 2 \ge 0 \end{cases}$
Решим сначала неравенство:
$6\cos x - 2 \ge 0$
$6\cos x \ge 2$
$\cos x \ge \frac{1}{3}$
Теперь решим уравнение. Сделаем замену $t = \cos x$. Уравнение примет вид:
$10 - 18t = (6t - 2)^2$
$10 - 18t = 36t^2 - 24t + 4$
$36t^2 - 24t + 18t + 4 - 10 = 0$
$36t^2 - 6t - 6 = 0$
Разделим обе части на 6:
$6t^2 - t - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$
Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge \frac{1}{3}$.
Для $t_1 = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \ge \frac{1}{3}$ (верно, так как $3 \ge 2$). Этот корень подходит.
Для $t_2 = -\frac{1}{3}$: $-\frac{1}{3} \ge \frac{1}{3}$ (неверно). Этот корень является посторонним.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\cos x = \frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение $\sqrt{3 + 4\cos 2x} = \sqrt{2}\cos x$.
Поскольку левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной. Это накладывает ограничение:
$\sqrt{2}\cos x \ge 0 \Rightarrow \cos x \ge 0$.
Также подкоренное выражение в левой части должно быть неотрицательным: $3 + 4\cos 2x \ge 0$.
При условии $\cos x \ge 0$ возведем обе части уравнения в квадрат:
$3 + 4\cos 2x = (\sqrt{2}\cos x)^2$
$3 + 4\cos 2x = 2\cos^2 x$
Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
$3 + 4(2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$
$3 + 8\cos^2 x - 4 = 2\cos^2 x$
$8\cos^2 x - 1 = 2\cos^2 x$
$6\cos^2 x = 1$
$\cos^2 x = \frac{1}{6}$
$\cos x = \pm\sqrt{\frac{1}{6}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{6}$
Учитывая ограничение $\cos x \ge 0$, выбираем только положительное значение:
$\cos x = \frac{\sqrt{6}}{6}$
Проверим второе условие $3 + 4\cos 2x \ge 0$.
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2 \cdot \frac{1}{6} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.
$3 + 4\left(-\frac{2}{3}\right) = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} \ge 0$, условие выполняется.
Найдем решение уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{6}}{6}$:
$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.